Операторные и дифференциальные уравнения и включения на группах диффеоморфизмов

• Автор: Гликлих, Андрей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 87 с.

Ведение

1 Группы диффеоморфизмов

1.1 Предварительные сведения и постановки задач

1.2 Расстояния на группах диффеоморфизмов и меры не-компактности

1.3 Локальная липшицевость дифференциалов

вложений

2 Уравнения с правоинвариантными операторами

2.1 Правоинвариантные векторные поля на Л5

2.2 Правоинвариантные специальные векторные

поля на ТЛ;5,

2.3 Правоинвариантные стохастические дифференциальные уравнения на группе диффеоморфизмов плоского тора
3 Уравнения с уплотняющими полями
3.1 Уплотняющие векторные поля на Л*
3.2 Уплотняющие дифференциальные уравнения
второго порядка
4 Уравнения с многозначными полями
4.1 Общие свойства многозначных векторных полей на Л*(М)

4.2 Дифференциальные включения первого
порядка на £>*
4.3 Дифференциальные включения второго
порядка на Б*

Литература

Группы соболевских диффеоморфизмов компактных римановых многообразий являются широко известными примерами функциональных бесконечномерных многообразий. Активное исследование различных объектов на указанных группах началось после того как в работах
B.И. Арнольда [1] и затем Д. Эбина и Дж. Марсдена [2] было показано, что указанные группы (функциональные многообразия) являются естественными конфигурационными пространствами для описания движения различных жидкостей в рамках лагранжева подхода к гидродинамике. Различные аспекты анализа на этих многообразиях и различные типы уравнений на них исследовались в многочисленных работах В.И. Арнольда (см., например, [3]) , Д. Эбина , Дж. Марсдена, А. Фишера, Д. Холма, Т. Ратиу и Р. Чернова [4, 5, б, 7, 8, 9], М. Кантора [10], А.М. Лукацкого [11, 12, 13], Н.К. Смоленцева [14, 15],
C. Школлера [16], А.И. Шнирельмана [17], К.Д. Элворти (см., например, [18]), Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого (см., например, [19]) и других.
Важным вопросом, возникающим при использовании групп диффеоморфизмов в гидродинамике и других разделах математики, является вопрос о существовании решений различных типов дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями на указанных группах. В частности, дифференциальное уравнение второго порядка (1.6) на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов (см. ниже) описывает движение идеальной несжимаемой жидкости. Напомним,

где ГД-, •) - локальный коэффициент указанной связности Леви-Чиви-та в карте (V, <д). В силу того, что Гч непрерывен по г), можно выбрать карту настолько малой, чтобы локальный коэффициент связности был меньше наперед заданного С > 0. Зададим атлас на Пя(Тп), разнеся карту (V, <р) всевозможными правыми сдвигами. Полученный атлас назовем правоинвариантным.
Вложим плоский тор Тп изометрично в пространство Мй, где к достаточно велико. Тогда, как это описано выше, В*{Тп) вложится в Ня(Тп,Шк) как окрестностный ретракт. Так как ЯЯ(ТП) — подмногообразие Д*(Т"), то у него существует трубчатая окрестность Я С
Рассмотрим карту (V, = »(<>£(*))* - §<гГ‘е(о(А(^(<))» А(^(«)))Л + А(£ (*))<М0 (2.7)
где - локальные коэффициенты связности, вычисленные в пространстве Ня(Тп,М.к), как в карте.
Известно, что трубчатая окрестность Я над картой (V, ср) представима в виде прямого произведения V х ¥, где — шар в ортогональном дополнении к ТеЯ*(Т") в Ня(Тп,Шк). Отметим, что V х IV - специальная карта трубчатой окрестности Я над (И, Лемма 2.5 Отобраэюение ау локально липшицево вУхУ.
Доказательство. Пусть а - продолжение поля а на трубчатую окрестность Я С Ня(Тп,Жк), как это описано в §2.1. Пусть В С
Н*(Тп,Жк).
<%&)у = аУ{Ъ£)М - trFf (А(Д), А(гД) + Ау(£)сЬ(г),
#(*Г
(2.8)