Квазисимметрические отображения прямой и плоскости

• Автор: Кузин, Денис Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 90 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Предварительные сведения
§1. Основные обозначения и определения
§2. Квазиконформность и квазисимметричность
§3. Ограниченное искривление, однородная вполне ограниченность и псевдовыпуклость
§4. Квазимебиусовы вложения. Нормальные и компактные семейства
Глава II. Точная функция искажения
§1. Свойство полумультипликативности
§2. Условие Келингоса
§3. Теорема о непрерывности точной функции искажения
§4. Случай гомеоморфизма прямой на себя
§5. Однородная точная функция искажения
§6. Сильная квазиадцитивность функции т]к,п
Глава III. Континуумы с ограниченным искривлением
§1. Условие (У, г)-цепей
§2. Ограниченность искривления графика функции
§3. Инфинитезимальная связность
§4. Инфинитезимальная жордановость
Глава IV. Достаточные условия квазисимметричности
§1. Внутреннее условие середин
§2. Внешнее условие середин
§3. Критерий квазисимметричности
§4. Однородное условие (У, г)-цепей
§5. Условие квазисимметричности в малом
§6. Достаточность условия Келингоса для квазисимметричности 77 §7. Условие диагонали
Литература

Введение
Важное место в современных геометрической теории функций и метрической топологии до сих пор занимает теория квазиконформных отображений, возникшая еще в конце 20-х годов XX века в работах X.Греча. Благодаря хорошо разработанному аппарату комплексного анализа эта теория получила наибольшее развитие для плоскости, найдя многочисленные применения для решения различных задач динамики сплошных сред. Для п-мерного евклидова пространства (гг > 2) квазиконформные отображения были введены в известной работе М.А.Лаврентьева [18] в 1938 г., и это послужило новым толчком для разработки новых методов теории в рамках как прикладной, так и чистой математики.
Квазиконформные отображения в размерностях п = 2 и п > 2 имеют ряд общих свойств, но в то же время между ними существует глубокое различие. Природа различия состоит в том, что, с одной стороны, класс конформных отображений на плоскости, согласно теореме Римана, достаточно богат, а с другой — все конформные отображения в пространстве сводятся к группе Мебиуса, т.е. являются композициями инверсий (теорема Лиувилля). Основные сведения по теории квазиконформных отображений для плоскости имеются в работе
О.Лехто и К.Виртанена [42], для пространства — в монографиях А.В.Сычева [21], Ю.Г.Решетняка [19] и Ю.Вяйсяля [50].
Поскольку определение квазиконформного отображения имеет смысл только для областей пространства К1 (п > 2), существовало множество попыток обобщить это понятие для произвольных подмножеств в В? или в любом другом метрическом пространстве, причем не все эти попытки можно считать удачными. Например, формальное обобщение так называемого метрического определения квазиконформности без наложения каких-либо дифференциальных свойств на рассматриваемое отображение метрических пространств не сохраняет основных свойств пространственных квазиконформных отображений.

Наиболее же удачной и законченной следует признать конструкцию, предложенную в 1980 г. финскими математиками П.Тукиа и Ю.Вяйсяля в ставшей уже классической статье [49], где было введено определение квазисимметри-ческих вложений метрических пространств. Идея квазисимметричности тесно связана с одной из наиболее важных проблем теории квазиконформных отображений — задачей о граничном соответствии. В рамках этой проблематики А.Берлингом и Л.Альфорсом в 1956 г. рассмотрены вопросы о продолжении гомеоморфизма / прямой Д1 на себя до квазиконформного автоморфизма верхней полуплоскости [31]. Полученное при этом необходимое и достаточное условие на функцию / легло в основу определения квазисимметрических функций, введенных Дж.А.Келингосом в 1966 г. и изученных им в работе [40]. В плоском случае первые разработки в теории квазисимметрических отображений принадлежат Г.Ренггли [45], который рассмотрел отображения, удовлетворяющие условию ограниченности искажения треугольника (1971 г.). П.Тукиа и Ю.Вяйсяля заметили, что определение, предложенное Г.Ренггли, можно напрямую перенести и на случай произвольных метрических пространств; это позволило выделить класс слабо квазисимметрических и более широкий, вообще говоря, класс ^-квазисимметрических вложений метрических пространств.
Вложение / : Д” —> Д” является /Г-квазиконформным тогда и только тогда, когда оно ^-квазисимметрично; при этом коэффициент квазиконформности К и функция искажения г] связаны взаимными оценками [51]. Если С? — область в Д", то квазисимметрическое вложение / : С? —» Дп является квазиконформным, но обратное неверно. Например, мебиусово преобразование шара в полупространство, являющееся даже конформным, не квазисимметрично, так как квазисимметрические отображения переводят ограниченные множества в ограниченные. Однако в этом случае эквивалентными уже оказываются понятия ’’локальная квазиконформность” и ’’локальная квазисимметричность”.
Очень существенно, что в широком классе метрических пространств 77-ква-зисимметрические вложения оказываются т/-квазисимметрическими с функцией искажения г/, имеющей степенной вид: т/(<) = С ■ тах{га, Д/“}, что позволяет, в частности, получить бигельдеровы оценки роста рассматриваемых вложений. Полное описание такого рода пространств получено Д.А.Троценко и Ю.Вяйсяля [47].
В общем случае концепция ту-квазисимметричности выглядит более естественной, чем слабая квазисимметричность. Например, ?;-квазисимметричес-кие вложения, как и квазиконформные отображения, образуют категорию, но композиция двух слабо квазисимметрических вложений не обязана быть слабо квазисимметрической. Однако в некоторых важных специальных случаях, например для подмножеств евклидова пространства, понятия слабой квазисимметричности и 77-квазисимметричности эквивалентны. В [49] доказан более общий результат, утверждающий, что такая эквивалентность имеет место для вложений псевдовыпуклого пространства X в однородно вполне ограниченное пространство У. В этой же статье доказано, что псевдовыпуклость простран-

для всех значений t > 0.
Доказательство. Непосредственно следует из определений точной функции искажения и функций ??;. □
Утверждение 2.2.7 дает прямой и естественный метод изучения свойств точной функции искажения ру, особенно, как мы увидим в §4 этой главы, в случае гомеоморфизма / прямой R1 на себя.
2.2.8. Лемма. Пусть / : Д1 —^ X — гомеоморфное вложение прямой R1 в метрическое пространство X и р; — его точная функция искажения. Тогда справедлива оценка
1y(t) < 1 + ma.x{pf(t + 1), pj(t ~ 1|)}
для всех значений t > 0.
Доказательство. Получим некоторые оценки для функций щ г = 1,2, 3,4:
лл ^ Л , f{x + th)-f{x + h)\
m(t) < sup 11 + T---г, ч| ) =
x&R1 ,/г>0 f (•£ fyt'n '
, , I/(у) - Яу + - Щ f 1 + m(t -1), t> l
да>о l/(v) - Яг/ - A)l I 1 + ^(i - 0, < < i ‘
/ ,ч ^ Л , |/(ж — th) — /(s + A)| _
7?2()-,eXoV f(x + h)-f(x) J
, , l/(y) - f{y - {t+ 1)A)| T , и , 1
= i+ sup j—гч —t-------------------= I+774 i+
ve№,h>о |/(y) - f{y ~ h)
( I f(x + th)~ f(x-h)\ rj3(t)< sup 1 + k "V/ 11 =
*ejy,A>o |/(+ - h) - f(x) J
= 1 + sup 7— J—-rr:------------------= 1+771 (f + 1).
yeRKh>0 f(y) — f(y + Щ
U / Л , |/(ж — itA) — /(ж — /г)|
m(v < SUP 11 + —Г77—7Д 77+1— =
x£Rh> oV |/(аг — /г) — /(ж)| /
1+ 1/(у) - f(y -{t- 1)A)| = [ 1 + rj2{t - 1), t>
yERl,h>0 l/(y)-/(y + A)| 1 i + m(i-<), *<1 '
Из полученных оценок и утверждения 2.2.7 следует требуемое неравенство. □
2.2.9. Лемма. Пусть / : R1 —J- X — гомеоморфное вложение прямой R} в метрическое пространство ,+ и р/ — его точная функция искажения. Тогда справедлива оценка:
»7/(0 < »7/(Я2)(1 + ’//(О)