Разложения по собственным и присоединенным функциям конечномерных возмущений вольтерровых операторов

• Автор: Седин, Олег Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 139 c. : ил

В в е д е н и е
Глава I. Вольтерровы операторы с ядрами, однородными степени п -1
§ I. Приведение оператора с ядром, однородным
степени п-1 к простейшему виду
§ 2. Инвариантные подпространства
§ 3. Интегральное представление одного класса
целых функций
Глава 2. Разложение по собственным и присоединенным функциям конечномерных возмущений вольтер-ровых операторов с ядрами, близкими к однородным
§ I. Приведение вольтеррова оператора к простейшему виду
§ 2. Асимптотика ядра резольвенты
§ 3. Вспомогательные оценки
§ 4. Теорема о разложении
Глава 3. Интегральные операторы с ядрами типа функции 1рина
§ I. Приведение оператора с ядром типа функции
Грина к простейшему виду
§ 2. Асимптотика резольвенты конечномерного
возмущения оператора интегрирования
§ 3. Вольтерровы операторы с ядром типа функции
Грина
§ 4. Теорема о разложении
Лит ература

Спектральная теория линейных операторов играет фундаментальную роль в различных вопросах математики, механики и физики. При этом возникает много проблем, приводящих к несамосопряженным задачам. В отличии от классической спектральной теории самосопряженных операторов, теория несамосопряженных операторов еще далека от своего завершения и в настоящее время интенсивно развивается.
Первые работы, относящиеся к этому направлению, принадлежат
В.А.Стеклову, Г.Биркгофу, Я.Д.Тамаркину, которые рассматривали разложения по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) несамосопряженных дифференциальных операторов. Важное место в спектральной теории несамосопряженных операторов занимают результаты советских математиков. Принципиальное значение имеет здесь теорема М.В.Келдыша о п.-кратной полноте с.п.ф. полиномиальных операторных пучков, стимулировавшая дальнейшее развитие данной теории.
Наиболее распространенные способы исследования несамосоцря-женных операторов связаны с оценкой резольвенты. Она, в частности, лежит в основе метода контурного интегрирования Коши. Еще одним естественным аппаратом исследования многих вопросов спектральной теории (обратные задачи, разложение по с.п.ф., асимптотика собственных значений и др.) оказался метод операторов преобразования. Впервые введенный Ж.Дельсартом, А.Я.Повзнером, он получил мощное развитие в работах И.М.Гельфанда, Б.М.Левитана,
В.А.Марченко.
Наибольшее продвижение теория несамосопряженных операторов получила для обыкновенных дифференциальных операторов, где благодаря наличию асимптотики решений соответствующего дифференциального уравнения при больших значениях спектрального пара-

метра, применяется метод контурного интегрирования Коїли.
Поэтому цри изучении задач спектрального анализа для интегральных операторов естественно прежде всего рассматривать операторы, обобщающие интегральные операторы, ядра которых являются функциями Грина всевозможных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Такими операторами являются конечномерные возмущения вольтерровых операторов, то есть операторы вида
нию разложений по с.п.ф. таких интегральных операторов.
Операторы (I) были подробно изучены А.П.Хромовым[2 - 3]
ни оператора интегрирования. Здесь мы будем предполагать, что
интегрирования А.О.Гельфонда - А.Ф.Леонтьева, действующего в
также может быть представлен как возмущение п-ой степени оператора интегрирования, но возмущающий оператор имеет более общий вид, чем уже рассмотренный). Как и в указанных работах будем считать, что конечномерное слагаемое в операторе Л достаточно мало (2гп< іг, П- 5 ). Это означает, что при больших значениях параметра резольвента оператора Л ведет себя примерно как резольвента вольтеррова оператора, то есть для нее допускается экспоненциальный рост по любому направлению.
(I)

с«(1) - (і){ (і)о[{ '

системы линейно независимых функций, а М - вольтерров оператор. Данная работа посвящена исследовапри условии, что оператор М является возмущением п-ой степеМ является возмущением п-ой степени оператора обобщенного
пространствах суммируемых функций. (В этом случае оператор П

ЪоЦо^ = 1<Р>1(Л) У/ (са)
• • * «-* я_аГ В о Цп-1 <■'*> = <Е№)
к Цо(0) = 0....Цл-1(0)=0,
где Р: (Л) , ^-0,П-1 9 1=0,П-{ , непрерывны на ] имеет
лишь тривиальное решение.
Доказательство. Учитывая условия задачи Коши и вид оператора 1) 0 , имеем для функции
Во^(х>
Отсюда следует, что функции Ц$ ^4]/=* удовлетворяют
обыкновенной системе дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями. Таким образом, №) ~0, <} - О, п-{,
Следствие 2.1. Задача Коши:
БоЦ(х) *9^) В о =О
у(0)~])оу(0) = ... =Бо'‘у0(0) =0,
имеет лишь тривиальное решение.
Далее, очевидно, ~ТпТЛ . Поэтому М0 = Уо ЛЕША 2.4. Задача Коши:
Б0л(у
в1 ( где ^ - некоторая константа, имеет лишь тривиальное решение. Доказательство. Обозначим
лШ = у(я) -ь^М{ Ц(л).
Тогда рассматриваемая задача Коши может быть представлена в виде: