Квазиконформные и гармонические экстремали функционалов на гомотопических классах деформаций и вложений римановых поверхностей

• Автор: Граф, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 131 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАЗИКОНФОРМНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ГОМЕОМОРФИЗМОВ
§1. Предварительные сведения
§2. О квазиконформности гармонического продолжения квазисиммет-
рической функции
§3. Свойства квадратичных дифференциалов, ассоциированных с гармоническими квазиконформными автоморфизмами единичного
круга
§4. Квазиконформные экстремали интеграла Дирихле-Дугласа в классах нормированных гармонических автоморфизмов единичного
круга
§5. Теорема покрытия для одного класса гармонических отображений круга в полосу
ГЛАВА 2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§6. Квазиконформные экстремали функционала Белинского в гомотопических классах вложений конечных римановых поверхностей
§7. Единственность экстремалей функционала Белинского в гомотопических классах вложений конечных римановых поверхностей
§8. Единственность экстремалей весовой дилатации в гомотопических
классах вложений конечных римановых поверхностей
§9. Квазиконформные экстремали интегральной весовой дилатации в гомотопических классах вложений конечных римановых поверхностей
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Объектом исследования в настоящей диссертации являются локальные и глобальные свойства экстремальных квазиконформных и обобщенных гармонических отображений плоских областей и римановых поверхностей.
Понятие квазиконформного отображения возникло во второй четверти двадцатого века в ходе исследований, проводимых М.А.Лаврентьевым [83], Г.Гретчем [72] и Л.Альфорсом. В 1939 г. О.Тейхмюллер [97] применил теорию экстремальных квазиконформных отображений при изучении восходящей еще к Б.Риману проблемы модулей алгебраических кривых. Идеи, заложенные в работах М.А.Лаврентьева, Г.Еретча и О.Тейхмюл-лера, получили дальнейшее развитие в трудах Л.Альфорса [1] - [4], П.П. Белинского [5], [6], Л.Берса [8] - [10], Л.И.Волковыского [12], [13] и привели к созданию глубокой и разветвленной теории квазиконформных отображений с обширными приложениями в гидродинамике. На сегодняшний день на ее основе сформировалась самостоятельная теория пространств Тейх-мюллера, имеющая перспективные приложения в современной математической и теоретической физике (солитонике, конформной, калибровочной и струнной теории поля).
Не менее важное место в современной математике занимает теория гармонических отображений, возникшая на основе работ Т.Радо [89], Х.Кне-зера [78] (1926 г.), Г.Шоке (1945 г.). Заметную роль в формировании теории гармонических и обобщенных гармонических отображений сыграли такие математики, как Э.Райх [90], К.Штребель [93] - [95], Дж.Элс,

Напомним, что пространством Харди Нр называется множество функций р Є Но1(Ы) , для которых средние /02?г р(геів)рсІв ограничены в совокупности по величине г, 0 г < 1 (см. [43]).
Теорема 3.1. Если функция имеет лишь конечное число граничных полюсов на дЫ, то р] Є II и имеет п.в. на дЫ некасательные предельные значения ру (сг9).
Доказательство. Докажем утверждение в случае, когда функция р$ имеет лишь один граничный полюс порядка V < 2 в точке Яд = 1. В случае произвольного конечного числа граничных полюсов результат получается по той же схеме.
Для доказательства принадлежности функции р$ классу Н2 необходимо показать, что
/2тт
эир / <р/(г егв)2 <19 < ОО.
0г<11о
При 0 г го < 1 функция р;{гегв) ограничена, и следовательно ограничена величина Бир |<р/(г е*е)| г Ю.
Существует положительная константа А, такая, что на множестве {г : г — 1| < 1 — го} при я —ї 1 справедлива асимптотическая формула
+ °(|7ТГ]Д (3-2)
Чтобы оценить интеграл Іг = <Р/(г ег9) сів разобьем его на два
интеграла

ІГ= I Мге*)1* (іе+ І рІ{геі9)1і (19. (3.3)
[ 7Г,7г]( (5,5) ~6