Некоторые экстремальные задачи для алгебраических многочленов на евклидовой сфере

• Автор: Дейкалова, Марина Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 61 с.

Содержание

Список обозначений

Введение
Глава 1. Функционал Тайкова в пространстве алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере

§ 0. Введение

§1. Общие соображения. Двойственная задача

§2. Редукция к одномерным задачам

§ 3. Аппроксимационная задача

§ 4. Норма функционала Тайкова и двойственная задача

Глава 2. О наименьшем значении меры множества неотрицательности алгебраических многочленов с нулевым средним значением на сфере

§ 0. Введение

§1. Оценка сверху
§ 2. Оценка снизу
Список литературы
Список работ автора

Список обозначений
R = (—сю, оо) - множество действительных чисел;
Rm = {ж = (жі
Bm(r) — {х G Rm : х г} - шар радиуса г с центром в начале
координат пространства Rm;
§m"'1(r) _ g j. |ж| _ гу _ сфера радиуса г с центром в начале
координат пространства Rm;
Bm - единичный шар с центром в начале координат в Rm;
§т_1 - единичная сфера с центром в начале координат в Rm;
Н - одно из множеств или Sfc_1(r) некоторого линейного подпро-
странства размерности к, 2 к т, пространства Rm;
Е - мера множества Е С Н;
Ь(Е) - пространство функций, измеримых и суммируемых на множестве ЙЄІ, наделенное нормой ||/|і£(_е) = / f(x)dx]

Loo{E) - пространство измеримых существенно ограниченных функций с нормой \f\Loo(E) = ess sup {І/(ж) I : ж Є Е}
— Ь{Е) - (линейное) пространство измеримых на Е функций /, для которых произведение / v суммируемо на Е, с нормой
Ц/ЦіЦЕ) — / f(x)v(x)dx (здесь Е - некоторое измеримое подів
множество (ненулевой меры) пространства Rm, т 1, или сферы S7"_1(r), т 2; v - вес, т. е. функция, измеримая, неотрицательная, суммируемая, почти всюду отличная от нуля на Е)

Т - некоторое линейное (необязательно замкнутое) подпространство пространства Ьг[(Е);
Т1- = Ех(у) подпространство функций из Ь00(Е), ортогональных пространству Т (с весом V), Т. е. множество всех функций (р £ Ьоа(Е), обладающих свойством / = 0, / £
С(/г, е) = {ж = (х
С(/і) = C(/i, em) = {ж = {x
шапочка с центром в «северном полюсе» ет = (0,
- множество целочисленных векторов из М,гг с неотрицательными компонентами; |cv| = ад + 4- ат;
степени (не выше) п от т (вещественных) переменных с вещественными коэффициентами са
'Рп т ~ подпространство многочленов Рп,тп с нулевым средним значением
Vх- — ‘Рп,т ~ подпространство функций из Ь0о(§ш х), ортогональных пространству многочленов Vn,m, Т.е. множество всех функций
Рп = Рпд _ множество алгебраических многочленов одного переменного степени (не выше) гг;
J 1, х £ С (/г), - характеристическая функция сферической
*h I 0, х С (/г), шапочки С (/г);
2 = {cV (li j ®j??) Є К I ОЦ, , ОД? ОД, . , 0j
Xа = ж?1 ж“2 ж"”1, ж = (жц, а = (ад,
Рп,т - множество алгебраическхіх многочленов
Рп(х) = )Г{сажа: а Є |се| п}
на сфере Sm 1, т. е. удовлетворяющих условию / Рп(ж) dx — 0;
J S11“

Действительно, справедлива следующая цепочка соотношений:
НС - lkoo(-l.l) = ess sup lew - *(t)|
4б(-1Д)
(1.67)
css sup
1Д) l§m'2l
eit) - ip (Vi -t2 x',tj
lUP I esssup Ф(Х) - 1,1) P I Jsm~2 x&S"‘
dx' <
ess sup *€(-1,1)
Поскольку подынтегральное выражение не зависит от х', то окончательно получаем оценку

ПС - 2IUc»(-i,i) < ]gm-2] ' Pm-2| ' 11 ~ IUooCS*»-») = IIФ - VlkcofS“-!)!
которая влечет неравенство S2n.m(C) Ф шп,т(Ф)-
Проверим обратное неравенство. Пусть z Е Тф{ф). Убедимся, что тогда функция <р(х) = z(xm) принадлежит множеству Vnm- Произвольному многочлену Рп Е Vn,m сопоставим многочлен дп Е Vn по формуле (1.53). Вновь с помощью формулы (1.50) получаем
Pn(x)z(xm)dx = |Sm_2| [ z(t)gn(t){ 1 - t2){m~3)/2dt = 0;

J sm-
так что, действительно, г G Vm. При этом имеем \Ф ~ V?IU„(S"-») = ess sup ф(х) - ip(x) |
= ess sup |С(Жт) - z{xm) = ||C - z

А отсюда следует неравенство ш(ф, Vjn) < Q(£, 'Рф(ф)). Таким образом, равенство (1.66) проверено. Лемма доказана.
Лемма 1.4. Предположим, что т)3и( есть функция одного переменного, ограниченная и измеримая на отрезке [—1,1]. Тогда при любом п 0 справедливы следующие утверждения.
1) Имеет место равенство