Исследование некорректных дифференциально-операторных задач полугрупповыми методами

• Автор: Ануфриева, Ульяна Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 88 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Абстрактная задача Коши, корректная в
пространствах ультрараспределений
1.1. Пространства абстрактных ультрараспределений Берлинга
1.2. Обобщенная корректность задачи Коши в пространствах ультрараспределений Берлинга
1.3. Классическое решение задачи Коши с оператором
А, порождающим А”-конволюционную полугруппу
Глава 2. Построение регуляризующих операторов для некоторых дифференциальнооператорных задач
2.1. Интегрированные полугруппы
2.2. Вырожденные полугруппы
2.3. Регуляризация задачи Коши с оператором А, порождающим интегрированную полугруппу
2.4. Регуляризация вырожденной задачи управления
Глава 3. Задача Коши для вырожденного
уравнения второго порядка
3.1. Условия существования 21-резольвенты оператора А
3.2. Корректность вырожденной задачи Коши
для уравнения второго порядка
Список литературы

Введение
Моделирование многих процессов в физике, экологии, экономике приводит к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка
и'(£) = Аи{к), I € [0, г), т < сю, к(0) = ж, (0.1)
с замкнутым оператором А, действующим в банаховом пространстве X. Важное место в исс ледовании таких задач начиная с 60-х годов занимают полугрупповые методы.
Основным результатом теории полугрупп является теорема о том, что задача Коши (0.1) является равномерно корректной тогда и только тогда, когда оператор А порождает сильно непрерывную полугруппу операторов II(£) класса Со [68, 19]. Это свойство оператора А тесно связано с поведением его резольвенты Я(Х) (А — А)-1, а именно: А является генератором полугруппы класса Со тогда и только тогда, когда оператор Я(А) определен в некоторой правой полуплоскости комплексной плоскости и удовлетворяет оценкам Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды [68] (см. также [19, 62, 88, 30, 61]):

3. Е К, С > О : ||Д<‘>(А)|| < (да_„ т
ЯеА > IV, к — 0,1, 2,
При этом полугруппа дает семейство операторов решения задачи (0.1): м(2) = С(£)ж, х Е £>(.4), а резольвента генератора совпадает с преобразованием Лапласа от полугруппы:
Д(А) = е ми{к) <И.
Существует широкий класс задач, не являющихся равномерно корректными, т.е. задач, для которых не выполнены условия (МКРНУ). Среди них значительное место занимает задача (0.1) с оператором А, резольвента которого определена в некоторой области правой полуплоскости и ведет себя как неубывающая функция. В работах разных авторов, посвященных исследованию задачи (0.1) с таким оператором А,

в основном присутствуют два подхода к построению оператора решения.
В рамках первого подхода строят сильно непрерывные семейства операторов, удовлетворяющие некоторым функциональным соотношениям, подобным полугрупповому. Эти семейства также называют полугруппами (интегрированные, С-полугруппы, К-конволюционные полугруппы и т.д.) [47, 57, 58, 59, 91, 62]. Ключевую роль в их построении, как в и построении полугрупп класса Со, играет техника преобразования Лапласа. Чтобы определить полугрупповое семейство, резольвенту оператора А ’’исправляют” — домножают на некоторую убывающую функцию, обеспечивающую существование обратного преобразования Лапласа, а затем это обратное преобразование берут в качестве основы для определения по-лугруппового семейства. Построенная таким образом ’’полугруппа” дает оператор решения уже не самой задачи (0.1), а новой задачи, полученной из (0.1). В ряде случаев при этом получены и решения исходных задач.
Второй подход к таким задачам состоит в том, что решение рассматривают как элемент некоторого более широкого пространства — пространства абстрактных обобщенных функций [8, 9, 62, 52, 15, 81, 82, 74, 78] При этом задачу (0.1) понимают как равенство в обобщенном смысле и называют обобщенной задачей (0.1). Пространства основных функций V конструируются таким образом, чтобы в пространстве С(Т>,Х), абстрактном пространстве обобщенных функций, можно было определить полугрупповое семейство и оператор решения задачи.
В рамках первого подхода к задачам, не являющимся равномерно корректными, В.Арендтом [47] была исследована за-
Для А б Г из условия (R2) мы имеем ||-R(A)|| < CeReX Wa. Пусть supp(р С К = [а, Ъ]. Оценим функцию 9(Х) :
|0(А)|
< sup ft
F Mnhn |A|n Jk
ИM]1n J)Re
nn с
MnAKJ Ш
Поскольку неравенство имеет место для любого п, оно сохраняется если вместо мы подставим inf„ = e~Mh
Следовательно, для любого h > 0 и А Є Г мы имеем
|»(А)| < С1Мм„,ккешх-щт = С1|Мк.*де(‘-=)ва+',/“,
(1.14)
и отсюда
ИЫНаду) JT II(A)I|£(,f)I(A)| ИА|
<СС, /ге<Н*-А>**|ММпА К |йл|.
Для любых а и 6 мы можем найти h такое, что А 4. Ь — ~ < О, тогда оператор Е(ф) определен. Покажем, что он удовлетворяет (1.10). По определению свертки и оператора Р мы имеем
< Р * Е, хр > =< (6у С /у — 6 <8) А) * Е,<р >—< Е' — АЕ, (р >
= -IY < Е,р>' > - А < Е,ір >
Интегрируя по частям и принимая во внимание, что R(X) является резольвентой оператора А, получаем
< Р * Е,(р > — -АЕ(ф) - [ R(A) J е V(0 dt d
= h /геА*(Дг)(Й d.
Из (1.14) следует, что можно применить непрерывную деформацию контура Г до мнимой оси, следовательно
< Р*Е, v >= 1у /_Д JR eAV(<) dt dX = Ir/Д /R *