Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузионными процессами

• Автор: Телятников, Илья Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

2 Поверхностные меры на траекториях в римановых

многообразиях, порождаемые диффузионными процессами, посещающими многообразие в каждой точке разбиения

2.1 Основные обозначения

2.2 Асимптотические оценки для интегральных операторов

2.3 Построение поверхностных мер, соответствующих диффузионным процессам

3 Поверхностные меры на траекториях в римановых

многообразиях, порождаемые диффузионными процессами

с отражением в трубчатых окрестностях многообразий

3.1 Основные обозначения

3.2 Построение поверхностной меры
4 Поверхностные меры на траекториях в римановых
многообразиях, порождаемые диффузионными процессами, не покидающими трубчатую окрестность многообразия
4.1 Вид плотности меры и генератора диффузии в специальных
координатах
4.2 Предельная мера смещенного случайного процесса

4.3 Соотношение между смещенным процессом и мерой
диффузионного процесса
4.4 Построение поверхностной меры
Поверхностные меры на траекториях в подмногообразиях римановых многообразий, порождаемые невинеровскими диффузиями
5.1 Основные обозначения
5.2 Асимптотические оценки для интегральных операторов
5.3 Построение поверхностных мер, соответствующих диффузионным процессам
Глава
Введение
Понятие поверхностной меры на бесконечномерном пространстве является естественным обобщением меры Лебега на поверхности в R": по мере /J на бесконечномерном пространстве X строится мера ßs, сосредоточенная па достаточно гладкой поверхности S в X.
Существует несколько способов построения поверхностных мер, порождаемых достаточно гладкими мерами на бесконечномерных пространствах. Первый способ для случая, когда поверхность обладает конечной коразмерностью, был исследован A.B. Скороходом [9] и A.B. Углановым [36]. Альтернативный способ для гауссовских мер был предложен X. Эро и П. Маллявэном [37]. Подход, предложенный X. Эро и П. Маллявэном, применим также для более широкого класса гладких мер (см. [58] и [40]).
Меры на бесконечномерных пространствах с бесконечной коразмерностью (а именно меры на нелинейных пространствах функций или пространствах петель) изучались Иосидой [62], Альбеверио [26], Драйвером [44], Маллявэном [54], однако конструкции перечисленных авторов опирались на теорему Колмогорова, а не на понятие поверхностной меры (то есть на сужение меры в объемлющем пространстве на поверхность).
Принципиально новые подходы к построению мер в случае, когда многообразие обладает бесконечными размерностью и коразмерностью,

Согласно результатам работ [35, ?, 10] щ обладает следующими свойствами:
1) щ Є Ощ(п) (т.е. щег при г < й задает ортонормированный базис пространства 17ДМ);
2) Случайный процесс гг [Г является решением стохастического дифференциального уравнения
6и£ = гГшф5ггд) (3.5)
с началом щ — І Є gl(7г).
Аналогично работам [35] и [10], введем понятие разложения Ферми (ад, гД непрерывного М£-значного семимартингала гд. Пусть яд = 7г(гд)-проекция гд на многообразие, ад = ргиі(уі — ж*) - координаты вектора уі — ад Є МХіМ в базисе (где; : (і + 1 < і < п). Пара (ж*,.гд) называется разложением Ферми гд. Любой семимартингал может быть восстановлен из пары процессов (ж*, гд) по формуле:
Уі = яд + щрг21(24). (3.6)
Далее обозначим (г{) диффузионный процесс в Ми с неединичным постоянным симметричным положительно определенным корреляционным оператором а (в координатах (еД) с отражением от дШе] к- оператор из К" в Мп, такой что а = ккт; (5*) - п-мерное стандартное броуновское движение с началом в точке жо-
Обозначим символом с(ж) тензорное поле на многообразии, задаваемое соотношением с(ж) = РхаРх Для ж Є М. В координатах {где.;} имеет место равенство для і. ] < (і:
& = а'Д (3.7)
где-а' = иащ, то есть с - верхний блок матрицы оператора а в координатах {где;}.
Обозначим РД меру на 6хо([0,і],Ж”), соответствующую процессу г{, и
символом меру на Сго([0, і], М), соответствующую процессу яд на М,