Экстремальные полиномы на нескольких отрезках

• Автор: Привалов, Иван Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 106 с.

1 Оптимальные и экстремальные рациональные функции на нескольких отрезках

1. 1 Общие определения

1.2 Обобщение теоремы Чебышева об альтернансе

1.3 Связь оптимальных рациональных дробей с рациональными дробями,

наименее уклоняющимися от нуля

1.4 Обобщение теоремы Фишера на случай произвольного количества отрезков

1.5 Общий вид решения экстремальной задачи для оптимальных

рациональных функций с фиксированным знаменателем

1.6 Приближение — полиномами на двух симметричных отрезках

2 Неравенства для рациональных функций с фиксированным

знаменателем
2.1 Общие определения
2.2 Обобщение неравенства Шура для рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках
Библиография
В диссертации исследуется круг экстремальных задач теории приближения на нескольких отрезках действительной оси.
Тематика, связанная с полиномами, наименее уклоняющимися от нуля, началась с мемуара П.Л. Чебышева [19], представленного в Академию Наук в 1853 г. Эта тематика занимала центральное место в теории приближений на первом этапе ее развития (этапе приближения индивидуальных функций посредством полиномов и рациональных дробей). П.Л. Чебышев нашел точные решения ряда задач в этой тематике, но, поскольку число таких явных решений весьма невелико, в дальнейшем основное развитие теории приближений пошло по пути приближения классов функций различными методами, их сравнении между собой и т.д. (подробнее см., например, обзор [91]). Тем не менее, точные решения как классических, так и вновь возникающих задач имеют, как правило, многочисленные приложения в различных областях. Назовем лишь некоторые из них: вычислительная математика, электротехника, квантовая химия, математическая физика, физика твердого тела, математическая статистика. Многочленам Чебышева посвящены монографии [64, 78], каждая книга по теории приближений обязательно содержит разделы с изложением их основных свойств. Обзоры [24, 46, 47, 65, 66, 85, 92, 97] содержат сведения о разнообразных применениях их обобщений (многочленов Золотарева, Ахиезера и др.). Приведем более подробные сведения по истории вопроса, точнее, по поводу полиномов по чебышевским системам, наименее уклоняющихся от нуля.
Рассматриваются «рациональные действительные» функции, наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной метрике на заданной конечной системе
отрезков Е - и [a2j _ 1 ’ a2j ]с ® ’ то есть
* хп+Ьхп 1+... + />
R (x,E,Q ) = ! £, (1)
п п Qn(x)

где Qn(x)= П G+ûrzгХ еСЕ,к = п - заданный действительный
к=1 К ак
полином, такие что ÎRj -> min.
Il llc(£)
A также их тригонометрические аналоги
ТЛ<Р)
4cosN(p+ .8 sinN(p + at cos(M-)(p + ... + b[N] sin(N-[N])p
т , (2)
где А-полуцелое, AeN/2, Л,ВеМ, А2 + В1 ^0,- фиксированные числа, А(^)-фиксированньтй действительный полином порядка а, a <(Рг < — <<Рц <Ь + 2я
среди всех функций этого вида.
П.Л. Чебышёв [19, 20] нашёл дроби вида (1), наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной норме на £ = [-1,1]; A.A. Марков [57] привёл другую форму решения этой задачи, а также и более общего случая:
— X -ь сх
Ki(x,B,Qn) = Мп* cos ^arccosG—-£),
Ы 1 + акХ
Согласно лемме 2 (обобщение теоремы Чебышева для оптимальных рациональных функций), Я^(х,с1,Е1^п) имеет на Е1 по крайней мере (п +1) точек /, Л° йЕ если 6 К-„йн] («)
” еСТМ0еК-ИЯ2*].0+1е[а2*+|.а2*+2] (б)’
где т -0, если ^ ё(а2Гя2£ + 1) и г = 1, если ^е(а2£>а2£ + 1).
По условию теоремы, 7?* (х, £,,£>„) имеет на £) (« + /) экстремальных точек. Согласно лемме 3 (обобщение теоремы Чебышева для экстремальных рациональных функций), Я*п(х,Е1^п) имеет на Е, по крайней мере (п +1) точек /, I I II И( (Л/)
. Е |(-1)^(Гу+|,£„а),есди//,/у+1б[а2*-|, я„](в)
еслм/уб[а2М,ан],/;+|е[ан+|,а2,+2] (б)
Выделим из (и + /) экстремальных точек С, < /2 с... < /п+/ (я +1) точку, убрав одну из крайних точек -1 или 1(для определённости, -1), и для каждой лакуны, не содержащей точку т/, один из её концов (для определённости, правый). Это можно сделать по лемме 7. Эти точки снова обозначим ?, <12 <... Е*п(х,Е1^п) согласно лемме 7 в этих точках будет по выбору точек такой же,
как и у оптимальной рациональной функции Я®(х,с1,Е1^п).