Интерполяция операторов и ее приложения

• Автор: Асташкин, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 182 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Определения, обозначения, предварительные сведения
Глава 2. Интерполяция линейных операторов в пространствах измеримых функций
§2.1. Описание интерполяционных орбит операторов, ограниченных в квазинормированных группах
§2.2. К-монотонные весовые пары, порожденные пространством, не инвариантным относительно сдвига
§2.3. Операторы слабого типа и устойчивость вещественного метода интерполяции
Глава 3. Интерполяция мультилинейных операторов с функториальной точки зрения
§3.1. Билинейные интерполяционные теоремы для вещественного метода
§3.2. Мулътилинейиые интерполяционные теоремы для функтора Петре и метода Калъдерона-Лозановского
§3.3.Интерполяция билинейных функционалов слабого типа
Глава 4. Приложения теории интерполяции к изучению операторов в симметричных пространствах
§4.1. Мультипликатор симметричного пространства относительно тензорного произведения
§4.2 Конусы, ступенчатых функций в симметричных пространствах
§ 4.3. Дизъюнктная строгая сингулярность вложений симметричных пространств

Глава 5. Система и хаос Радемахера в симметричных пространствах
§5.1. Описание подпространств, порожденных системой Радемахера
§ 5.2. Коэффициенты Фуръе-Радемахера функций из симметричных пространств
§ 5.3. Хаос Радемахера в симметричных пространствах
Глава 6. Применение интерполяционных функционалов при изучении лакунарных систем
§6.1. ’’Сильная” интегрируемость сумм рядов относительно равномерно оганиченных систем
§6.2. Системы, эквивалентные по распределению системе Радемахера
§ 6.3. Выделение лакунарных подсистем из равномерно ограниченных систем
§6.4. К,-замкнуто представимые банаховы пары
Литература

Введение
Интерполяционные теоремы можно упрощенно рассматривать как утверждения, устанавливающие ограниченность оператора из одного пространства в другое на основании информации об его ограниченности в других парах пространств.
Классические теоремы Рисса-Торина и Марцинкевича, с одной стороны, привели к созданию в конде 50-ых - начале 60-ых годов абстрактной теории интерполяции, с другой стороны, стимулировали ряд глубоких исследований по интерполяции операторов в функциональных пространствах измеримых функций.
Так, в середине 60-ых годов были получены два важных результата по интерполяции операторов, ограниченных в ставшей ’’модельной” после теоремы Рисса-Торина паре (ЬиЬсо). Первый из них, доказанный Ж.В.Риффом [1], показал, что орбита любой функции из суммы Ьх + относительно этого класса операторов совпадает с ее К. -орбитой. Вторая теорема, принадлежащая А.П.Кальдерону [2] (близкое утверждение доказал Б.С.Митягин [3]), дала описание всех пространств, интерполяционных относительно пары (Ть £оо). Одновременно, в основном, после работы Я.Петре и Г.Спарра [4] выяснилась возможность рассматривать интерполяционные конструкции не только для банаховых пространств, но и для квазиба-наховых абелевых групп измеримых функций. В этом случае нужно изменить одно из ’’крайних” пространств, и вместо пары (Ьх,!,) рассматривать пару (Во, Доо), где Ьо - пространство всех измеримых функций с носителем конечной меры. Вопросы по интерполяции операторов, ограниченных в последней паре, выглядят столь же естественными, что и для пары (1,1, Ьсо), но изучаются в диссертации уже в рамках всех квазибанаховых групп.
Если орбита каждого элемента х £ Хо + Х относительно банаховой пары (Ха, Ад) совпадает с ее К, -орбитой, то такая пара называется К. -монотонной (или парой Кальдерона). Важность изучения таких пар связана, прежде всего, с возможностью полного описания класса всех пространств, интерполяционных относительно них [5,6]. Исторически первым примером К -монотонной пары была пара (Ьх,!,)- Далее в работах А.А.Седаева и Е.М.Семенова [7], А.А.Седаева [8], Г.Спарра [9] было показано, что аналогичным свойством обладают произвольные пары весовых Ьр -пространств, а также пары, являющиеся частичными ретрактами последних (например, пары пространств вещественного К, -метода, параметры которых - весовые 1Р -пространства последовательностей [10,11]). Это послужило причиной постановки вопроса о том, насколько универсален такой способ построения К. -монотонных пар.
Развитие идей, связанных с теоремой Марцинкевича, привело к созданию вещественного метода интерполяции, одного из наиболее важных способов конструирования интерполяционных пространств. Отличительной особенностью его является определенная устойчивость относительно банаховых пар. В работе [12] интерполяционный функтор был назван устойчивым, если его значения на определенных парах весовых 1Х - и I-пространств последовательностей совпадают. Там же показано, что множество таких функторов можно охарактеризовать как класс всех функторов вещественного метода интерполяции, соответствующих параметрам, в которых ограниченно действует оператор Кальдерона. В случае симметричных (или перестановочно инвариантных) пространств измеримых функций вопросы устойчивости интерполяционных методов тесно связаны с их значениями на парах пространств Лоренца и Марцинкевича. Из общих реитерацион-

Доказательство. 1) Предположив сначала, что Sf < 0, обозначим для произвольного t £ (0,1) через jo минимальное среди j £ Af, для которых 24 > 1. Пусть tj — 24 (0 < j < jo), tj0 = 1. Так как / убывает, то
-1 30 rt, 30 со
j f{u)du/u = Е / f(u)du/u < 1п2 2 f(2J~1t) < ln2 £ Mf(23) fit),
Jt 3=1 Jti-l j=l
и по определению Sf [15,c.76],
OO oo
A= < С In22/2 < oo.

Для доказательства обратного утверждения предположим, что Sf > 0. Тогда М/(.s) > 1 (s > 1) и для каждого s > 1 существует t £ (0,1), такое, что st < 1 и
f{st) > 1/2 f(t).
Так как / убывает, то при и £ (t,st) /(и) > 1/2fit). Следовательно, f{u)du/u > fiu)du/u > 1/2 Ins fit),
и ввиду произвольности s > 1 неравенство (2.3.5) не выполнено ни при каком А > 0.
2) Если тд > 0, то, так как д возрастает, то
t оо ,2 -н
/ д{и) du/u - J2 / g{u)du/и < 1п2 J2 < ln2 Е Мд{2~3) дЦ),
10 п 0_п ~Г>
оо 1-2-Н

3=0 ,'2 1 4 3
причем по определению 7г [15,с.76]
Д = 1п2 ЕМЛ2"'*) < С21п2 2-/2 < со.

Докажем обратное. Если 7а < 0, то Мд{в) >1 (« < 1) и для каждого в < 1 существует 1 £ (0,1), такое, что gist) > 1/2 1/2р(£). Следовательно,
[ д{и)6и/и > / д)йи/и > 1/2 1п(1/в)р(1),
и неравенство (2.3.6) не может быть выполнено ни при каком Д > 0. □
Лемма 2.3.3. Дели < 1 к Ъ{+-1) > 1710 некото-
рого С > 0 и всех 0 < эД < 1 выполнено неравенство
Ш < с шах (
ФИ о(-5)>1(-?)/ '