Интерполяция и аппроксимация наипростейшими дробями

• Автор: Кондакова, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 96 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ1
Введение
Глава I. Общие вопросы интерполяции
наипростейшими дробями
§1. Постановка задачи обобщенной интерполяции
§2. Построение н.д. обобщенной интерполяции
§3. Индуктивное построение интерполяционной
таблицы единственности
§4. О возникновении особых узлов
Глава II. Задача интерполяции констант и
другие вопросы
§1. Построение интерполяционных н.д
§2. Особые узлы в задаче интерполяции констант
§3. Интерполяция по чебышевской системе узлов и
оценка погрешности
§4. Дополнения к материалам второй главы
Глава III. Чебышёвский альтернанс при аппроксимации наипростейшими дробями
§1. Существование н.д. наилучшего приближения
§2. Вопрос о единственности н.д. наилучшего приближения
§3. Вспомогательные результаты об интерполяции констант
§4. Теоремы об альтернансе
Библиографический список
Табота поддержана грантом РФФИ (проект 11-01-97517-р_центр_а); выполнена в рамках проекта ДПННиТ № 1.1348.2011.

Введение
В работе изучается интерполяция и аппроксимация наипростейшими дробями (н.д.), т. е. рациональными функциями вида
представляющими собой логарифмические производные комплексных многочленов. Как аппарат приближения и. д. впервые применялись в работах С.К. СЬш [1], С.К. СЬш и Х.С. ЭЬеп [2] при аппроксимации аналитических функций в интегральных пространствах Бергмана-Берса на ограниченных жордановых областях 67; при этом полюсы £& подбирались на границе дС.
Возникновение теории аппроксимации посредством н.д. инициировано одной проблемой Е.А. Горина [3], которую можно переформулировать как задачу аппроксимации: найти порядок величины наилучшего приближения нуля на К посредством при п —* сю, если расстояние от множества полюсов {£&} до К каждой такой дроби не больше единицы. Этой проблемой в разное время занимались Е.А. Горин [3], Е. Г. Николаев [4], А. О. Гельфонд[5], В.Э. Кацнель-сон [6], В. И. Данченко [7] и др. Изучались и другие аппроксимативные свойства н.д.; например, доказано, что класс функций, приближаемых н.д. в равномерной метрике на ограниченном множестве, включает многочлены, а значит, и аппроксимируемые ими функции. Отсюда получается аналог теоремы Мергеляна [8]: для любого компакта К со связным дополнением и любой функции / £ О (К), аналитической во внутренних точках К, величина рп(/, К) наилучшего приближения на К функции / н.дробями порядка п стремится к нулю при п -» оо. Что касается скорости приближения, то она для широкого класса компактов К и функций / имеет тот же порядок,

Отсюда следует, что линейная комбинация предпоследней (п+1)-ой и последней (п + 2)-ой строк матрицы А ({гг*, - хп+1, Ук}%=1) с коэффициентами Уп+i, (—1) и 1, 0 соответственно является линейной комбинацией первых п ее строк (которые совпадают с первыми п строками матрицы Ап+1 ({хк - хп+ъ Ук}Щ)), откуда и следует (27). Лемма 1.1 доказана.
Лемма 1.2. Пусть Е(хп+х) — пересечение четвертого типа. Тогда rang Л = rang Л = rang Ап = п. В частности, система (25) совместна и имеет бесконечно много решений до,., дп, определяемых первыми п уравнениями.
Доказательство леммы 1.2. По условию имеем тождества Dn(xn+i,y) = 0; Dn+(xn+i,y) = 0, у G К, и, кроме того, det Л„ ({xk,Vk}k=i) Ф 0- Отсюда следует, что xaxgAn+i{xi,yi
S(y,xn+1) := (у, ухп+1 - 1,
этой матрицы An+i(y) = An+i{xi, уъ ... ,хп, yn,xn+i, у) при каждом у € М. есть линейная комбинация (зависящая от у) первых п ее линейно независимых строк. Остается заметить, что первые п строк матриц An+i(y) и Л совпадают, а последняя и предпоследняя строки матрицы Л равны соответственно —5(0, £n+i) и 5(1, xn+i) — 5(0, хп+) (см. (21) и (26)). Отсюда вытекает, что обе эти строки также являются линейными комбинациями первых п строк матрицы Л. Лемма 1.2 доказана.