Достаточные множества для пространств целых функций; Представление функций рядами экспонент

• Автор: Рахимкулов, Наиль Исмаилович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 108 c. : ил

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ГЛАВА ]. О ПОСТРОЕНИИ ДОСТАТОЧНЫХ МНОЖЕСТВ § 1.1. Достаточное множество для пространства

[^ОЧ Н) , где НеТ?

§ 1.2. Задача Л.Эренпрайса

§ 1.2. Достаточное множество для пространства

[§(*), со)

§ 1.4* Достаточное множество для пространства

U,H)

§ 1.5. "Универсальное” достаточное множество

ГЛАВА 2. О РАЗЛОЖЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОБОБЩЕННЫЕ РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ § 2.1. Разложение функций, аналитических в

выпуклой области, в ряды по системе • Тб

§ 2.2. Универсальная абсолютно-представляющая
система
§ 2.3. Разложение функций из пространства
[тСг)9ф] , где 0^9<о° , в ряды по
системе £>?S
§ 2.4. Разложение функций из пространства [*Г, Н] ,
где в ряды экспонент
ЛИТЕРАТУРА

0Б03НАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Встречающиеся в диссертации термины без определений и ут-
.18, 9 .20. 9 .22. , [28; , Ы - [34] , [42] ,[44] , [54]
55 9 .57 9 .56. , [75. и другой литературе по топологии и
теории функций.
Для краткости будем придерживаться, если не оговорено противное, нижеследующих условностей, а именно:
- обозначать через Я/ множество натуральных чисел, Z -целых чисел, /Я - неотрицательных вещественных чисел, /Я -вещественных чисел, С - одномерную конечную комплексную плоскость;
- предполагать, что индексы ^ , / , К , С , М , П
последовательно пробегают /V , начиная с I;
- обозначать элемент уЬ через , Л=Ге , >
предполагая соответственно, что ^-1^1 * С£=1$1 ;
- присваивать числам £ , ^ или ^ те же индексы, что и числам Л или Б соответственно;
- под "областями" понимать области в С ;
- обозначая заглавной буквой, например А , множество
точек, понимать под этим непустое множество различных точек в
€ и обозначать их соответствующей прописной буквой, в выбранном примере это будет Л , с индексом;
- понимать термины "положительный", "больше", "возрастание", символы /*, > и соответственно обратные к ним как строгие;
- понимать под обозначениями вида $ саму функцию, а обозначениями £(2) - ее значение в точке г? ;

- опускать указание области изменения аргумента функционала, если он пробегает все допустимые значения;
- под символами операций 1.П «и не писать индекс, по которому выполняется операция, а указывать лишь границы его значений;
- в записях вида Хп-*оо подразумевать, что
- считать, что счетное множество точек, например Б , такое, ЧТО °° , упорядочено по неубыванию модуля;
- там, где речь идет о существовании констант, пределов или значений функционалов, подразумевать существование соответствующих конечных величин;
- слова "существует точечное множество”, "точечное множество построено" понимать так, что существует алгоритм его построения, реализуемый с любой степенью точности;
- отмечая что такой-то автор в таком-то году "доказал", "получил", "обобщил" и т.п. некоторый результат, указывать год публикации.
Пусть С - это класс всех положительных, непрерывных, а Н - линейное пространство всех целых функций, определенных на € . Пусть далее 3<-<£МС иЕ - линейное подпространство Н » причем равномерно по 0 IН?)} = 0(к(?}) ОО ,/<р£ Е ,
УкеН . Обозначим через г (КЗ) локально выпуклую топологию определяемую на Е семейством преднорм
В этих и последующих обозначениях будем опускать символ 5 , если Ь-(Г . Множество КсС называется направленным вниз,
если имеете с функциями /у, оно содержит функцию =
=/77 с И [к, (2) ] . Если множество направлено
ВНИЗ, ТО семейство окрестностей з<^ 7 7 У1£ N ,

Предположим, ЧТО ДЛЯ некоторых іГЄ {/у (р € [^(^7°°) имеет место (I 3.4), В процессе доказательства мы построим

функцию 1Г нужным нам образом. Используя представление функции ір рядами Лагранжа и приведенные выше оценки, получим

х £и Щк'Ч'к Чг^к к (1.3.5)
Согласно (1.3,1), / -УЯр . Следовательно, по лемме
1*1.5,
^^г=П)Р<соСуществует номер К0 такой, что для имеем кШ%
<2 тр . Положим О «*-«%, И (746^(Г.
Тогда если
К ^-^0 , то
еЩкП?Ы -ед«е"к
Следовательно, ряд (1.3.5) сходится. Обозначим его сумму . Таким образом,

/ лр (Й^ Лр 1Г(г)г^ р
І Р&І <-^г— Є <-^-Є ,2б4.
с> С,

Из предыдущих рассуждений видно, что константа ь
мС^Р
не зависит от функции р . Отсюда, в силу произвольности <Р , следует справедливость теоремы.