Интегро-дифференцирование комплексного порядка в гельдеровских классах

• Автор: Шанкишвили, Ламара Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 125 с.

Глава 1. Вспомогательные сведения
§ 1. Классы У, и некоторые их свойства.
Вспомогательные неравенства
§ 2. Сведения из гармонического анализа на сфере
§3. Обобщенные пространства Гельдера. Некоторые
замечания о плотных множествах
Глава 2. Дробное интегро-дифференцирование комплексного порядка на отрезке
§4. Дробные интегралы и производные мнимого порядка и
их свойства
§ 5. Оценки типа Зигмунда дробных интегралов мнимого порядка в обобщенных пространствах Гельдера
Щ([0Лр)
§ 6. Оценки типа Зигмунда дробных интегралов и
производных комплексного порядка в пространстве Гельдера
ЩФЛр)
§ 7. Теоремы о действии дробных интегралов и производных комплексного порядка в обобщенных пространствах Гельдера. Изоморфизм обобщенных гельдеровских пространств
Глава 3. Операторы типа сферической свертки в обобщенных пространствах Гельдера р)

§ 8. Оценки типа Зигмунда для сферических операторов
типа потенциала и гиперсинулярных интегралов порядка О ^ 11е а <
§ 9. Мультипликаторы сферических гиперсингулярных
интегралов при комплексных порядках
§10. Теоремы о действии сферического оператора типа
потенциала и гиперсингулярного интеграла. Изоморфизм обобщенных гельдеровских пространств
§ 11. Операторы сферической свертки со степеннологарифмическим ядром в пространстве Нш (^-ь р)-Теоремы о действии
Глава 4. Неравенства типа Чебышева и их приложения
§ 12. Аналоги неравенств Чебышева в случае почти
синхронных функций
§13. Приложение к операторам типа потенциала
§14. Приложение к нелинейным интегральным уравнениям
Литература

В теории интегральных операторов одной из важных задач является задача выяснения связи между гладкостью образа интегрального оператора и его прообраза. Решение подобной задачи играет существенную роль в вопросах разрешимости интегральных уравнений, их устойчивости и др. Понятие гладкости может при этом формулироваться в самых разнообразных терминах. Один из способов, позволяющий достаточно тонко уловить гладкостные свойства функций, использует понятие обобщенной гельдеровости, формулируемой в терминах поведения модуля непрерывности.
Основной объект исследуемый в диссертации — это операторы дробного интегро-дифференцирования на отрезке [0,1] и на сфере в комплексного порядка а: 0 ^ Rea < 1.
Оператор дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля на отрезке [а, Ь] обычно задается в виде
где порядок а допускается положительным. Дробная производная формально может быть определена по формуле = 1~+, 0 < а < 1 (если использовать правую форму в определении (0.1) дробного интеграла), но более удобна использовать ее запись в форме Маршо:
В такой форме дробная производная определена при 0 < а < 1. Известно (см. [38]), что этот оператор является левым обратным к дробному интегралу I" в рамках Ьр пространств: = у, 1 ^ р < 1/а,
а < х <6,
(0.1)
а < х <Ъ.
(0.2)

Остается заметить, что с помощью простых замен слагаемое (Аф)(х) приводится к виду
0 (-У
(Ахф)(х) = / / У Тх1^Ф(у) ду,0 < х <1 - а, (5.23)
о х + У)
где ф(у) = 0 при- у > а и ф(у) = ф(у) при 0 < у < а. Следовательно, ф(у) ^ сух и ф(а) = 0, и остается применить лемму 5.1. То, что в (5.23) может быть а ф 1 — а несущественно, поскольку вне окрестности нуля функция (Аф)(х) липшицева. Таким образом, (М+ф)(х) € #А[0,1]. Лемма доказана.
Объединение всего сказанного выше дает

Теорема 5.7 Пусть р(х) = П х — , а = х < х% < • • • < хп

0 < Л < 1 и выполнены условия: /ц < А + 1, рп > Л < /ц. < Л + 1, к = 2 п—1. Тогда оператор 1$+ ограниченно действует в Н$([0,1],р)
§ 6. Оценки типа Зигмунда дробных интегралов и производных комплексного порядка в пространстве Гельдера Я^([(), 1], р)
В этом параграфе мы отдельно остановимся на распространении результата работы [29] с 0 < а < 1 на случай комплексного а с 0 < Не а < 1. Принципиальным здесь является новый подход к доказательству соответствующей теоремы для дробной производной особенно в весовом случае. Он основан с одной стороны на использовании единого взгляда как для оценок дробных интегралов, так и дробных производных, с другой — неравенств для монотонных функций. Все это позволило дать достаточно простое доказательство. Отметим, что до сих пор в известных монографиях [38], [62], [61] по дробным интегралам доказательство весовой оценки Зигмунда для дробной производной (и даже более простой весовой теоремы [34] для случая обычных