Интегральная геометрия симметричных тензорных полей в комплексном пространстве и интегральная геометрия матриц

• Автор: Вертгейм, Лев Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 123 с.

Оглавление
Введение
1 Интегральная геометрия симметричных тензорных полей в комплексном пространстве
1.1 Определение симметричных тензорных полей в
комплексном пространстве и операций над ними
1.2 Определение лучевого преобразования и теорема о разложении на потенциальную и бездивергентную части
1.3 Формула обращения лучевого преобразования
1.4 Описание образа лучевого преобразования
1.5 Доказательство теоремы о тангенциальной компоненте
2 Интегральная геометрия с матричным весом и одна нелинейная задача восстановления матриц
2.1 Интегральная геометрия с матричным весом
2.2 Нелинейная задача восстановления матриц
3 Обратная задача для системы кинетических уравнений, возникающей из системы уравнений Власова равновесной плазмы
3.1 Постановка обратной задачи

3.2 Лемма о регулярности семейства траекторий
3.3 Интегральная геометрия вдоль п семейств кривых
3.4 Разрешимость обратной задачи в частном случае
4 Примеры неединственности в задачах обобщенного преобразования Радона и эмиссионной томографии с поглощением
4.1 Пример неединственности для обобщенного преобразования Радона с весом, инвариантным относительно вращений
4.2 Пример неединственности для задачи эмиссионной томографии с поглощением
Литература
Публикации автора

Введение
В диссертации рассматриваются задачи интегральной геометрии симметричных тензорных полей в комплексном пространстве, линейные и нелинейные задачи интегральной геометрии матриц, некоторые их приложения к обратным задачам и вопросы единственности для обобщенного преобразования Радона.
Началом развития интегральной геометрии принято считать работу Радона 1917 года, в которой он решил задачу восстановления функции на плоскости по набору ее интегралов вдоль всевозможных прямых ( ее русский перевод можно найти в приложении в книге [27] ). Он нашел формулу обращения соответствующего интегрального преобразования, которое называют преобразованием Радона.
Ранее Г. А. Лоренц, Г. Минковский и П. Функ нашли способ восстановления четной функции, определенной на сфере, по ее интегралам вдоль всех больших кругов. Однако именно Радон впервые поставил общую задачу восстановления функции на поверхности по ее интегралам вдоль кривых из некоторого двухпараметрического семейства ( см. [27]).
В диссертации интегральная геометрия понимается, как область математики, которая изучает преобразования функций, дифференциальных форм, тензоров и других объектов, заданных на многообразии, ставящие им в соответствие наборы их интегралов вдоль подмногообразий из некоторого семейства подмногообразий. Основным вопросом является при этом возможность восстановления этих объектов на многообразии, если известны все соответствующие интегралы. Большой интерес представляют явные формулы обращения и вопросы устойчивости восстановления.

При І > к в индукционном предположении суммирование ведется от в = I — /с до/ ив выражении для 7+1 /*' первая часть слагаемого суммы при в = I — к равняется нулю и при этом коэффициенты вычисляются точно таким же способом.
Если имеем I > д, то верхний предел суммирования становится равным див индукционном переходе слагаемое с оператором 1+ч~1 Jj+l не появится в силу коэффициента (р — б)(д — б')|,ч_г/ = 0.
Лемма доказана.
В качестве следствия получаем следующее утверждение , применяя лемму на пространстве
( Напомним, что 51,г и , в силу соотношений коммутации
7« = Л Л1 , = АЛ ,
Л* переводит А’ в А'р!’. , поэтому в утверждении леммы заменяем р на р — г, д на д — г и к на г).
Лемма
ТІ ТІ тг тт
АЛА А ~
/ тч|/ ,м гпгп(1л-г)
„ (р-?)!(д-/)! V- г!
р!д! (/-я)!«!(г + в-П!
в=тах(1—г,0)
{п+р + д-г-в- 2)! (р-г)!(д-г)! г+,/г+5
(п +р + д — г — I — 2)! (р — § — г)!(д — 5 — г)! €
на пространстве К£.
Теперь можно завершить доказательство теоремы проверкой соотношения
ЕіЩщ = 1|к%
В самом деле, левая часть на К| преобразуется по уже доказанному к виду
(-1 )1(р + ду.(п+р + д- 2 -/)! А
Щр - і)К<і - 1)Кп+р + я - 2)- 0(г')2(р+я)Кр-г)Кя-г)-