Обобщенное интегрирование банаховозначных функций

• Автор: Солодов, Алексей Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

Содержание
Введение
1 Классы непрерывных вектор-функций
1.1 Определения и вспомогательные результаты
1.2 Обобщения теоремы Банаха-Зарецкого
1.3 Дифференцирование функций
2 Обобщенные интегралы
2.1 Определения и вспомогательные результаты
2.2 Интегралы Данжуа и вариационный
2.3 О лемме Сакса-Хенстока
Список литературы

Введение
Эта работа посвящена проблемам теории интегрирования и дифференцирования банаховозначных функций, то есть функций, определенных на отрезке прямой и принимающих значения в некотором банаховом пространстве. В основном рассматриваются процессы интегрирования, обобщающие интеграл Лебега и его банаховозначный аналог — интеграл Бохнера.
На протяжении работы мы будем придерживаться следующих обозначений: Ж. — множество всех действительных чисел, [сг, 6] или А — отрезок действительной прямой, 0 — пустое множество, Р — замыкание множества Р, |Р| — мера Лебега множества Р, АР — множество {Аж, х Е Р}, Р(Д) — приращение функции Р на отрезке А, о>(Р, Р) — колебание функции Р на множестве Р, Р — вариация функции Р на отрезке [а, Ь, Хр — индикатор множества Р, X — банахово пространство, X* — сопряженное к X (пространство линейных непрерывных функционалов над X), X** — второе сопряженное к X.
Необходимость обобщения интеграла Лебега возникла в связи с задачей объединения двух фундаментальных концепций интегрирования. Автором одной из этих концепций, соответствующей идее неопределенного интеграла как первообразной функции, является И. Ньютон. Согласно его определению функция / интегрируема (в смысле Ньютона) на отрезке [а, Ь], если существует функция Р, имеющая всюду на [а, Ь] конечную производную, равную /. При этом функция Р называется первообразной или неопределенным интегралом функции /, а приращение Р на отрезке [а, 6] называется определенным интегралом функции / по отрезку [а, Ь]. Определения такого характера, то есть основанные на дифференциальных свойствах неопределенного интеграла, будем называть дескриптивными. Г. Лейбниц предложил рассматривать определенный интеграл как предел приближающих его интегральных сумм. Впослед-

ВВЕДЕНИЕ

ствии идеи Г. Лейбница развил О. Коши, который построил теорию интегрирования для всех непрерывных функций (см. [8]). О. Коши вычислял определенный интеграл функции / как предел интегральных сумм f(xk-i)(xk — xk-i)- Определения, основанные на приближении определенного интеграла конечными суммами, будем называть конструктивными.
Выяснилось, что в классе непрерывных функций определения Ньютона и Лейбница-Коши эквивалентны. Однако после того как Б. Риман распространил процесс интегрирования Лейбница-Коши на разрывные функции (см. [12]), стало ясно, что эта эквивалентность нарушается. Более того, оказалось, что интегралы Ньютона и Римана не покрывают друг друга. Другими словами, существуют функции, интегрируемые по Риману, но не имеющие первообразной в смысле Ньютона, и наоборот, функции, которые являются точными производными, но не интегрируемые по Риману. Последнее было установлено в работах В. Вольтерра и А. Лебега (см. [87] и [9]). В связи с этим возник вопрос, можно ли построить интеграл, включающий в себя интегралы Римана и Ньютона, и, таким образом, объединить конструктивную и дескриптивную теорию интеграла.
А. Лебег в своей диссертации (см. [9]) определил процесс интегрирования для измеримых функций как предел интегральных сумм

Ук-ie{x € [а,Ъ] : ук-1 < f(x) <Ук},

разбивая ось у вместо оси х. Этот интеграл, также определенный конструктивно, оказался существенно шире интеграла Римана. Тем не менее интеграл Лебега не решил задачу объединения интегралов Ньютона и Лейбница-Коши. Рассмотрим, например, функцию
х2 sin Дг, если х € (0,11, хг
О, если х — 0.
Легко заметить, что F(x) дифференцируема всюду на отрезке [0,1]. Следовательно, ее производная F'(x) интегрируема в смысле Ньютона. На любом отрезке [е,1], где е > 0, функция F(x) абсолютно непрерывна, и значит, является неопределенным интегралом Лебега от своей производной. Таким образом, если функция F'{x) интегрируема по Лебегу, то ее
F(x) = <
ГЛАВА 1. КЛАССЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ

Положим I — /аЬ||/00|| сП. В силу теоремы Н этот интеграл существует.
Пользуясь эквивалентностью интегралов Лебега и Мак-Шейна (см. определение 23), выберем положительную функцию 82 так, чтобы для любого (-согласованного по Мак-Шейну размеченного разбиения отрезка [а, 6] выполнялось неравенство
По определению вариации существует такое разбиение Т° отрезка [а,Ь], что
Легко заметить, что последнее неравенство останется верным и для любого измельчения Т разбиения Г°:
Положим 6(£) = тт{51(£),52(£)}- Рассмотрим -согласованное по Мак-Шейну размеченное разбиение Т} отрезка [а, Ь]. Построим такое разбиение Г2, чтобы оно было измельчением как Т°, так и Т1. Разметим разбиение Т2 следующим образом: каждому отрезку А2 из Т2 сопоставим точку £ такую, что (£, Д1) 6 Т1, и А2 с А1. Для построенного размеченного разбиения Г2 выполнено каждое из неравенств (1.7), (1.8) и (1.9). Складывая неравенства (1.7), (1.8), (1.9) и применяя неравенство треугольника, получаем
Следующая теорема показывает, что дифференцируемость почти всюду абсолютно непрерывной вектор-функции зависит от возможности аппроксимировать ее абсолютно непрерывными функциями, принимающими значения в конечномерных подпространствах пространства X, в смысле сходимости по вариации (см. определение 31).
(1.8)
(1.9)
I- УТ|<£.

В силу произвольности є получаем, что / = V Д.