Квазимеры, обобщенные интегралы и хаусдорфовы меры в теории рядов Хаара и Уолша

• Автор: Плотников, Михаил Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Вологда
• Количество страниц: 221 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
1.1. Некоторые определения и обозначения
1.2. Кратные ряды и их сходимость
1.3. Функции Хаара и Уолша на отрезке [0,1]
1.4. Двоичная группа и функции Хаара и Уолша
1.5. Кратные ряды Хаара и Уолша на единичном кубе [0,1]ш
1.6. Кратные ряды Хаара и Уолша на группе С?т
1.7. Хаусдорфовы р-меры и размерность Хаусдорфа множеств из С?т и [О, I]"1
1.8. Некоторые утверждения о коэффициентах и частичных суммах кратных
рядов Уолша
1.9. Некоторые замечания об определениях функций Хаара
2. КВАЗИМЕРЫ И ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ХААРА И УОЛША
2.1. Функции множества на кубе [0,1]т и на группе (7т
2.2. Непрерывность В-функций
2.3. О дихотомии для В-функций
2.4. Условия типа Липшица для В-функций
2.5. Условия типа Липшица и принципы распределения масс для квазимер
2.6. Формальное интегрирование кратных рядов Хаара и Уолша -
2.7. Непрерывность квазимер и коэффициенты кратных рядов Хаара и Уолша
2.8. Частичные суммы кратных рядов Хаара и Уолша и условия типа Липшица
для квазимер
2.9. Некоторые замечания о множествах единственности для рядов Хаара и
Уолша
2.10. Несколько слов о тесноте связи между рядами Хаара и квазимерами
3. ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ УОЛША НА ГРУППЕ вт
3.1. Множества типа Дирихле для системы Уолша
3.2. Теоремы о монотонности В-функций
3.3. Обобщенные интегралы двоичного перроновского типа на группе С"
3.4. К вопросу о восстановлении коэффициентов сходящихся по кубам и р-
сходящихся кратных рядов Уолша
3.5. Множества единственности для кратных рядов Уолша при сходимости по
кубам и р-сходимости
3.6. Теоремы типа Валле-Пуссена для кратных рядов Уолша
4. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ХААРА
4.1. Некоторые свойства квазимер на единичном кубе [0,1]т
4.2. Теорема о монотонности для В-функций на единичном кубе [0,1]т
4.3. Вопросы единственности кратных рядов Хаара на единичном кубе [0,1]т
4.4. Утверждения о единственности и неединственности для квазимер и кратных
рядов Хаара
4.5. О границе существования единственности для двойных рядов Хаара

4.6. Сравнение (Р^)-интеграла и интеграла Лебега
5. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОМЕРНЫХ ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ТЕОРЕМЫ ТИПА ДЮ БУА-РЕЙМОНА ДЛЯ ДВОЙНЫХ РЯДОВ ХААРА
5.1. Некоторые определения и вспомогательные утверждения из теории
обобщенных интегралов
5.2. Об одном семействе обобщенных интегралов
5.3. О непротиворечивости (Д1/2д)-интеграла и (Д|)-интеграла
5.4. Теоремы типа дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара
5.5. О противоречивости (ЩД-ннтеграла и (Дг1у,2)-интеграла и об одном примере
двойного ряда Хаара
6. ХАУСДОРФОВЫ МЕРЫ И МНОЖЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ РЯДОВ ХААРА И УОЛША
6.1. Условия типа Арутюняна-Талаляна и множества относительной
единственности для кратных рядов Хаара
6.2. Одна теорема о монотонности для Б-функций
6.3. Множества относительной единственности для кратных рядов Уолша и
Хаара
6.4. Условия Вэйда и множества относительной единственности для одномерных
рядов Хаара
6.5. Множества относительной единственности и восстановление коэффициентов
кратных рядов Уолша и Хаара
7. КОЭФФИЦИЕНТЫ СХОДЯЩИХСЯ КРАТНЫХ РЯДОВ ХААРА И УОЛША
7.1. О всюду сходящихся по квадратам двойных рядах Уолша с быстро
возрастающими коэффициентами
7.2. О стремящихся к нулю подпоследовательностях коэффициентов сходящихся
по кубам кратных рядов Уолша
7.3. О всюду сходящихся по кубам или р-сходящихся кратных рядах Хаара с
быстро возрастающими коэффициентами
Благодарности
Предметный указатель
Список основных обозначений
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Представленная работа стоит на стыке теории единственности ортогональных рядов, теории обобщенных интегралов, а также некоторых разделов теории меры и теории дифференцирования.
Теория единственности является одним из классических разделов теории ортогональных рядов. Свое начало она берет с известной теоремы Кантора ([9, гл. 1], [44, т. 1, гл. 9], [173]), доказанной еще в конце XIX века.
Теорема А1 (теорема Кантора). Если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду на [—7Г,7г), кроме, быть может, конечного множества точек, тпо этот ряд является тождественно нулевым, то есть все коэффициенты этого ряда равны нулю.
С тех пор теория единственности превратилась в весьма разветвленную теорию, тесно связанную не только с вещественным анализом, но и с другими разделами математики, например, с теорией вероятностей, теорией чисел и теорией множеств.
К сожалению, невозможно сделать обзор всех направлений теории единственности. В связи с этим мы вынуждены останавливаться подробно только на тех разделах этой теории, которые непосредственно связаны с данной работой, тем самым не уделяя должного внимания многим весьма интересным работам. Стараясь, по возможности, дать ссылки на наиболее значимые результаты о единственности для рядов Хаара или Уолша, мы из-за недостатка места не всегда сможем делать подобное для тригонометрических рядов.
Теория единственности естественным образом началась с изучения тригонометрической системы. Поэтому, хотя наша работа посвящена изучению рядов Хаара и Уолша, будет постоянно проводиться обзор результатов и для тригонометрических рядов, а также их сравнение с теми, что имеют место для рядов Хаара и Уолша.
Теорему Кантора усилил В. Юнг ([9, гл. 1], [44, т. 1, гл. 9], [254]), который показал, что в теореме А1 достаточно требовать сходимости к нулю вне счетного множества. Теоремы Кантора и Юнга привели в начале XX века к обширным исследованиям с целью поиска исключительных множеств, которые не нарушают эти теоремы. Такие множества называются множествами единственности или U-множествами. Более точно, множество А, лежащее в области определения системы функций {фп}-, называется множеством единственности или U-множеством для рядов по ЭТОЙ системе, если СХОДЯЩИЙСЯ К нулю вне множества А ряд ^2папфп{х)

рядов требует привлечения не только метрических, но и арифметических характеристик множеств.
Была также рассмотрена более общая задача восстановления коэффициентов кратных рядов Хаара и Уолша, сходящихся вне множеств относительной единственности. Для каждого а £ (0,1) и семейства
К = {{ед}:1еС”} (0.18)
возрастающих последовательностей {kj(t)} натуральных чисел построен интеграл двоичного перроновского типа, названный (Р771У“(К))-интегра-лом, относительно которого верна
Теорема 27. Пусть выбраны се £ (0,1), р £ (0,1], кратный ряд Хаара или Уолша (Б) на группе Ст, а также семейство К возрастающих последовательностей натуральных чисел, определяемое формулой (0.18). Предположим, что выполне7т следующие условия.
1) для всех Ь £ б?т, кроме, быть может, точек из некоторого множества нулевой хаусдорфовой ат-меры, подпоследовательность (1) кубических частичных сумм ряда (Б) стремится при j —> оо к конечному-значению /(!;);
2) всюду на Ст прямоугольные частичные суммы Б^Д) ряда (Б) в точке 1 удовлетворяют условию (0.17).
Тогда функция / является (РН]Уа (К.))-интегрируемой и ряд (Б) является (РНУа{К))-рядом Фурье-Хаара или, соответственно, Фурье-Уолша функции /. ;
В главе 7 мы несколько отступаем от основной линии для того, чтобы еще раз указать на значительные различия между поведением кратных рядов, сходящихся по кубам или по ограниченным прямоугольникам, от рядов, сходящихся по (неограниченным) прямоугольникам. В этой главе представлены некоторые результаты, касающиеся поведения коэффициентов сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша. Показано, что поведение коэффициентов сходящихся по кубам кратных рядов Уолша может сильно отличаться от поведения коэффициентов сходящихся по прямоугольникам таких рядов. С другой стороны, если рассматривать сходимость по кубам, то поведение коэффициентов кратных рядов Уолша сильно отличается и от поведения коэффициентов кратных тригонометрических рядов. Сходимость кратных рядов Уолша по кубам к конечной функции даже всюду в определенном смысле не гарантирует никаких ограничений на.поведение их коэффициентов с номерами, взятыми из достаточно массивного множества. В частности, показано, что двойной ряд Уолша может всюду сходиться по квадратам, а его коэффициенты с номерами из некоторого множества при этом могут