Исследование операторов и операторных уравнений, связанное с мерами некомпактности

• Автор: Ерзакова, Нина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 234 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 0. СВОДКА ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ И ФАКТОВ
0.1. Обозначения
0.2. Сведения из теории мер некомпактности и уплотняющих
операторов
0.3. Сведения из теории операторов
0.4. Разные результаты и определения
ГЛАВА 1. О МЕРАХ НЕКОМПАКТНОСТИ и, /3, Х НЕКОТОРЫХ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ
1.1. О мере V подмножеств произвольных правильных пространств
1.2. О мере некомпактности Д подмножеств пространств

1.3. О мере некомпактности Д подмножеств пространств
Лоренца
1.4. О мере некомпактности подмножеств пространств функций интегрируемых по Бохнеру
1.0. О мере некомпактности и ограниченных подмножеств пространств Соболева в пространствах Орлича
1.6. О мере некомпактности у ограниченных подмножеств пространств Соболева в различных пространствах функций
1.7. О мере некомпактности Д ограниченных подмножеств пространств Соболева в различных пространствах функций

ГЛАВА 2. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕР НЕКОМПАКТНОСТИ К ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ

2.1. Об операторе вложения пространств Соболева в правильные пространства
2.2. О мере некомпактности оператора вложения специального класса пространств Соболева
2.3. Об операторе суперпозиции
2.4. Об уплотняющих операторах в пространствах суммируемых функций
2.5. О критериях Ф+-операторов
2.6. Об условиях справедливости одного неравенства
2.7. Критерии компактности по мере
2.8. Критерии компактности оператора вложения в пространства Орлича
ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕР НЕКОМПАКТНОСТИ К ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. О существовании и продолжимости решений дифференциального уравнения с разрывной правой частью
3.2. О разрешимости задачи Неймана
3.3. О существовании решения операторного уравнения в пространстве функций, интегрируемых по Бохнеру
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Теория мер некомпактности и уплотняющих операторов, возникшая сравнительно недавно, имеет приложения в различных областях математики. Так, например, техника, связанная с мерами некомпактности и уплотняющими операторами, применяется при исследовании дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах, функционально- дифференциальных уравнений нейтрального типа, интегральных уравнений, а также некоторого типа дифференциальных уравнений с частными производными.
Впервые количественную характеристику степени некомпактности подмножества метрического пространства ввел в рассмотрение польский математик К.Куратовский [29,81] в связи с задачами общей топологии.
Другие наиболее известные меры некомпактности были введены И.Ц.Гохбергом, Л.С.Гольденштейном, А.С.Маркусом в работах [14] и [15].
Как правило, мера некомпактности - это числовая характеристика множества, тесно связанная с некоторым критерием компактности.
Заметим, что необходимость рассмотрения различных мер некомпактности объясняется, в некоторой степени, существованием примеров операторов, уплотняющих относительно одной меры некомпактности и не уплотняющих относительно другой (см. [2], [99]. [105]).
В настоящее время известно достаточно много мер некомпактности (см. обзоры [1], [2], [57]) и их продолжают вводить (см., например, [22], [43], [54], [69], [82], [99]), если это требуется для решения поставленной задачи.
Отметим еще, что в [43] дается общее определение меры некомпактности, а в работе [7] исследуется вопрос о структуре множества всех мер некомпактности на банаховом пространстве.
В 1955 году Дж.Дарбо (G.Darbo) в работе [64] использовал меру некомпактности у (Хаусдорфа) для обобщения теоремы Шаудера на класс (к, х)-ограниченных отображений.
В 1967 году Б.Н.Садовский в работе [41] обобщил теорему Дарбо на уплотняющие операторы.
Напомним, что непрерывный оператор, вообще говоря нелинейный, называется уплотняющим, если он делает меру некомпактности образа множества, замыкание которого некомпактно, меньше меры неком-

ждое множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в LP(Q) переводит в множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Lq(П).
Теорема 0.3.1 [53, 56]. Пусть оператор суперпозиции F действует в <7(0,1). Тогда следующие условия эквивалентны:
1) Функция f(s,t) удовлетворяет условию Липшица
|f{s,u) - f(s,v)I < y(s,w)|w- v|,

w = max(|w|, |г?|) и g порождает оператор суперпозиции
<7 : Б,.(<7(0,1)) П*(г)((7(0,1)).
2) Оператор суперпозиции F удовлетворяет условию Липшица
ЦТих - Fu2\ < к(г)\щ - и2||
для всех щ, щ Є ВГ(С[0,1]).
3) F удовлетворяет условию Дарбо
Xc(o,i){FU) < k(r)xc(o,i){U).
0.4. Разные результаты и определения
Пусть Е - произвольное банахово пространство, 0 < Т < оо. Определение 0.4.1(см., например, [13, с. 152]). Функция и : (О,Т) —> Е измерима по Бохнеру, если существует такая последовательность {гг„} простых функций, таких тто
un(t) -> «(f)
для почти всех t € (О, Т). Если, к тому же, такая последовательность удовлетворяет условию

jim / \u{t) - un(t)\Edt = О, о
то функция и называется интегрируемой по Бохнеру.
Теорема 0.4.1 [37, с.16]. Пространство <7°°(П) П L/,p(fl) плотно в Ь1’Р(П).