Методы обнаружения невырожденности условно-периодических движений интегрируемых гамильтоновых систем

• Автор: Логачев, А.С.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 113 c. : ил

1 НЕВЫРОЖДЕННОСТЬ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В СЛУЧАЕ КОВАЛЕВСКОЙ ЗАДАЧИ О ВРАЩЕНИИ ТЯЖЕЛОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ
§ 1.1 Задача Ковалевской и вспомогательные
утверждения
§ 1.2 Невырожденность условно-периодических движений при нулевом значении постоянной площадей I
§ 1.3 Невырожденность условно-периодических движений при 1+0
2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕВЫРОЖДЕННОСТИ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В СЛУЧАЕ КЛЕЫЛА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО
ТЕЛА В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
§ 2.1 Постановка задачи
§ 2.2 Замечание к доказательству Кеттера об интегрируемости задачи Клебша
§ 2.3 Доказательство невырожденности в окрестности точки самопересечения бифуркационной диаграммы при
к3+(/с%-с:. . . .
§ 2.4 Невырожденность при
§ 2.5 Случай нулевой постоянной площадей
3 МЕТОДИКА БИЛЛИАРДНОГО ПРЕДЕЛА В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ НЕВЫРОЖДЕННОСТИ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В СИСТЕМЕ А/ ЧАСТИЦ НА ПРЯМОЙ С ПАРНЫМ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ с'Р(х)
§ 3.1 Система N частиц на прямой с парным взаимодействием &&
§ 3.2 Движение в предельной (при &—О ) биллиардной
системе и предельные переменные "действия"
§ 3.3 Непрерывность по параметру & (при 6-^0 )
допредельных переменных действия
§ 3.4 Сходимость (при 5 — 0) первых и вторых частных
производных от переменных действия
§ 3.5 Доказательство невырожденности
4 ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО СЧЕТА НА ЭВМ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВЫРОЖДЕННОСТИ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В СЛУЧАЕ ГОРЯЧЕВА-ЧАПЛЫГИНА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО
ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ
§ 4.1 Задача Горячева-Чаплыгина
§ 4.2 Лемма с использованием ЭВМ для доказательства
невырожденности
ЛИТЕРАТУРА

Настоящая диссертация содержит доказательство невырожден-юсти условно-периодических движений некоторых классических интегрируемых систем. На симплектическом многообразии рассматривается "амильтоново векторное поле с функцией Гамильтона Н . Гамильтонова система называется интегрируемой, если существуют П. независимых интегралов движения 1Л находящихся в инволюции. По ізвестной теореме Лиувилля-Арнольда (см.[I]) каждое множество ровня всех этих интегралов представляет собой П -мерный тор в газовом пространстве системы. Зтот тор инвариантен относительно газового потока гамильтоновой системы, каждая фазовая кривая, на-іавшаяся в точке такого тора, на нем и останется.
Движение на инвариантном торе 1^= С* является условно-перио-даческим. В окрестности инвариантного тора можно ввести
рм.Гі]) переменные действия, тогда частоты условно-перио-щческих движений суть производные гамильтониана по переменным действия. Отметим, что частоты зависят от того какой именно из горов мы рассматриваем, то есть какие значения первых интегралов мы фиксировали. Таким образом частоты являются функціями значений первых интегралов движения
Условно-периодические движения называются невырожденными в жрестности инвариантного тора 1Л~ С'^ , если частотное ото-Зражение
ювырождено в точке (&і)■■■,&п.) . В этом случае также будем на-щвать гамильтонову систему невырожденной в окрестности инва-шантного тора 1К= .
Итак, в невырожденном случае на различных инвариантах торах г фазовом пространстве гамильтоновой системы реализуются услов-

§2.2 Замечание к доказательству Кеттера об интегрируемости задачи Клебша.
Кеттер (см.[13]) проинтегрировал уравнения движения твердого тела в идеальном жидкости для случая Клебша. Отметим,однако, что Стеклов в книге "О движении твердого тела в жидкости" указывает на неточность в рассуждениях Кеттера. Анализ работы [13] позволяет провести интегрирование уравнений (I) в случае Клебша до конца.
Предположим, что НьФО и введем, следуя Кеттеру (см. [13], [18]) на инвариантных торах координаты 2*, . Уравнения тора имеют вид
I И5 (3)
л га*
Пусть -четыре корня уравнения
/(з]= *4*4Уъ
где У(3)=
Введем новые переменные $к,2*с;связанные с ^^соотношениями
Ч = /,у А/^§7 , / I / //./^
г тто
^ = /.//^/ _ | /,, [/&-& ; /$& -4; |
где -З^Э-З^/З-5,
За координаты на инвариантном торе Н~Н±} -4/^можно принять корни уравнения (см.[13],[18])
—У- - С - ^ -7%- = О, а& -г 4з

/V _//^з~4~7 л./ /4~4"7 )у/'
* * 7Р%] 7гЩ1/{1гЩЩ$!