К теории операторных уравнений с линейными и нелинейными неразложимыми операторами

• Автор: Семилетов, Владимир Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 119 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
* ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Неразложимые операторы

§ 1. Неразложимые матрицы и неразложимые интегральные операторы

§2. и0 -неразложимые операторы

§3. Неразложимые нелинейные интегральные операторы

§4. Неразложимые абстрактные нелинейные операторы

• ГЛАВА II. Новые оценки спектрального радиуса линейного неразложимого оператора

§5. Сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов

§6. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора

§7. Оценка позитивного спектра неразложимого положительного опера-
• тора
§8. Оценка собственных значений оператора, не являющегося положительным
ГЛАВА III. Приближенное решение операторных уравнений второго рода
§9. О решении операторных уравнений второго рода вида х = Ах+/ в случае, когда спектральный радиус оператора А больше
• §10. Об одном итерационном методе решения операторного уравнения
вида д: = Ах + /
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций с помощью линейного или нелинейного операторного уравнения вида
x=A{x)+f (0.1)
с оператором л(х), действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. Одной из них является довольно распространенная задача о существовании у уравнения (0.1) решения х= х*, обладающего свойством неотрицательности: х >9. Такого рода задачи, вообще говоря, присущи задачам экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения. Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры - конуса К, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов х,уеЕ определено отношение х>у, если (х-у)<=К, являющееся аналогом обычного скалярного неравенства: х>у. От свойств конуса в пространстве Е и от вида оператора А, действующего в этом пространстве, зависит существование решения х* у уравнения (0.1), а также способы, с помощью которых можно построить приближения к этому решению.
Основной интерес в работе приобретают уравнения с так называемыми неразложимыми операторами. Отметим, что неразложимые операторы впервые были введены в работах В.Я. Стеценко ([83], [77], [75], [71]) в плане развития и обобщения результатов М.А. Красносельского, посвященных уравнениям с и0 -положительными операторами [44]. Уравнения с щ-положительными операторами обладают рядом важных свойств, в частности, для них было установлено существование и единственность положительного решения, сходимость метода последовательных приближений к этому решению и т.д. Впоследствии в работах В.Я. Стеценко было замечено, что многие свойства щ -положительных операторов имеют место и для существенно бо-
лее широкого класса операторов, получивших название неразложимых. Поводом для выделения неразложимых операторов также послужила теория неразложимых матриц, построенная в работах Фробениуса, которую развил М.А. Красносельского на случай абстрактных уравнений.
После построения теории неразложимых операторов, естественным представляется следующий шаг — попытка распространения основных свойств неразложимых операторов на более широкий класс операторов, который в данной диссертации получил название и0-неразложимых операторов. Класс и0 -неразложимых операторов содержит, в качестве правильной части, неразложимые операторы и обладает основными свойствами таких операторов.
Исходя из ранних работ П.С. Урысона [89] по нелинейным интегральным операторам и теории линейных и0 -положительных операторов, М.А. Красносельский и его ученики (Л.А. Ладыженский, И.А. Бахтин и другие) построили содержательную теорию для некоторых классов нелинейных положительных операторов, действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве. Особенно глубоко была развита теория и0 -вогнутых операторов ([2], [44], [45]). Вместе с тем существуют достаточно широкие классы операторов, которые не относятся к классу нелинейных и0-вогнутых операторов, но которые тем не менее обладают основными свойствами этих операторов.
В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов.
Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операто-

£(/0, і) > 0 (і є б).
Определение 1.4 в некотором смысле обобщает понятие неразложимости интегрального оператора на более широкий класс интегральных операторов. Рассмотрим еще один пример.
Пример 3. Пусть ядро £(ґ,.ї) кусочно-непрерывно, и таково, что
= 0 внутри и-<т<1,^-<^-<1^

Х’(/,і)> 0 внутри 0<ї<^.
Покажем, что интегральный оператор с таким ядром является разложимым в смысле определения 1.3 и является неразложимым в смысле определения 1.4.
Действительно, полагая ^ =10’1]''{^}’ будем иметь, что Л^г,^| =
для всех г є , т.е. это ядро разложимо в смысле определения 1.3.
Покажем, что это ядро неразложимо в смысле определения 1.4. Пусть имеется произвольное разложение сегмента [о,1] на два измеримых множества
[0,1]=^ и^, те^2>0, ^П^2=0.
При этом логически возможны два случая:
1) содержит хотя бы одну точку /0 из полусегмента
2) ^ содержит хотя бы одну точку /, из сегмента

Рассмотрим случай 1). Пусть содержит хотя бы одну точку 10 е Равенство
£(/0,.у) = 0 для всех зе!?!