Аппроксимация в комплексной плоскости и сингулярные операторы с ядром Коши

• Автор: Мамедханов, Джамали Исламович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 279 c. : ил

Настоящая работа посвящена задачам аппроксимации функций комплексного переменного многочленами и рациональными функциями на кривых возможно более общего вида. Тематика исследований лежит на стыке теории аппроксимации и теории сингулярных операторов.
Разработка проблем аппроксимации функций и изучение свойств сингулярных операторов существенно связаны с исследованием метрических и топологических свойств соответствующих множеств, а также с изучением локальных и глобальных свойств классов функций.
В связи с этим, в работе сделана попытка переосмыслить ряд фундаментальных результатов теории сингулярных операторов и конструктивной теории функций с точки зрения возможности создания на их основе новых методов решения актуальных задач полиномиальной аппроксимации функций комплексного переменного.
При этом построена локальная теория сингулярных операторов, существенно используемая как в локальной, так и в глобальной аппроксимации на дугах в комплексной плоскости.
Получены точные, в смысле порядка, интегральные неравенства для многочленов на широком классе спрямляемых кривых, которые не были известны ранее даже для кусочно-аналитических кривых без точек возврата . Впервые при решении задач аппроксимации в интегральной метрике на замкнутых кривых определение класса кривых естественным образом связывается с классом приближемых функций, что позволило существенно расширить

классы кривых, на которых возможна наилучшая по порядку аппроксимация. Кроме того, в диссертации введена полиномиальная (и рациональная) весовая аппроксимация в интегральных метриках на широком классе спрямляемых кривых, и при этом получены результаты, являющиеся новыми даже в случае единичной окружности.
Отметим, что принципиальная возможность равномерного полиномиального приближения на произвольном компакте комплексной плоскости всякой функции класса , то есть непрерывной на
Ж' и голоморфной во внутренних точках УТЬ , установлена в классической теореме С.Н.Мергеляна [47(1)] . Согласно этой теореме, такая аппроксимация возможна тогда и только тогда, когда дополнение ЖЪ связно и содержит бесконечно удаленную точку. Теорема С.Н.Мергеляна играет в комплексной области ту же роль, что и аппроксимативная теорема Вейерштрасса - в вещественной.
Ей предшествовал ряд глубоких и тонких результатов Дж.Уолша, Ф.Гарторгса и А.Розенталя, М.А.Лаврентьева, М.В.Келдыша (см., например, [б9(1)] и [б7(1)] ).
Аналогичные вопросы в случае рациональной аппроксимации решались в работах С.Н.Мергеляна [47(4)] и А.Г.Витушкина [17(1)]
Критерии возможности полиномиальной аппроксимации в среднем (т.е. в интегральной метрике) функции -f , принадлежащей
в комплексной области с границей Г классу ЕоСО)»^

( р>0 ), были разработаны в работах В.И.Смирнова [57(1)J ,
¥^Через £p(G), р>° , как обычно, обозначен класс аналитических в области G- функций £ , для которых существует последовательность замкнутых спрямляемых кривых { } , лежащих
в области G- , сходящихся при т^*оо к р и таких, что С’ Р
J Шг)Г ldzl
М.А.Лаврентьева [37(П] , М.В.Келдыша [36(1)] , Я.Л.Геронимуса [19(1)] и Г.Ц.Тумаркина [65(1)] . Основной результат, установленный в этом направлении, утверждает, что полиномиальная аппроксимация в среднем функций из класса Ер (б~) возможна тогда и только тогда, когда рассматриваемая область (г есть область
В. И. Смирнова
Одновременно с получением упомянутых результатов ставились и решались задачи о количественной оценке скорости сходимости приближающих полиномов (или рациональных функций) в зависимости от структурных и дифференциальных свойств приближаемой функции (проблема прямых теорем наилучшей аппроксимации), как и задачи описания классов функций, обладающих заданной скоростью полиномиальных приближений (проблема обратных теорем). Критерии принадлежности функции некоторому классу в терминах оценок скорости ее аппроксимации принято называть конструктивными характеристиками классов.
Постановка проблемы прямых и обратных теорем конструктивной теории функций в комплексной плоскости имеет ряд особенностей, которые становятся более понятными, если обратиться к соответствующим исследованиям в вещественной области.
Хорошо известны (см. например [8(1)] , [б4(1)] и [22(2)] ) классические прямые теоремы Д.Джексона, справедливые как для периодических, так и для непериодических непрерывных функций, и обратные теоремы С.Н.Бернштейна и Валле-Пуссена для периодических непрерывных функций, которые вместе определяют конструктивную
^Область & есть область В.И.Смирнова или область типа ^ , если функция Рк[ у'(Чо")( представима в круге !тлг|<-| интегралом Пуассона, где £= конформно отображает |к^<1 на (г

А это соотношение доказывается точно также, как и соотношение (1.2.6) в лемме 1.2.1.
Аналогично исследуется и случай £ =£0 .
Доказательство леммы 1.2.3. Пусть Г £ $ . Рассмотрим два

возможных случая:
I) ^ ^ Случай следует из леммы 1.1.3.
Пусть "Ъ = Ф(£)) , где+^Г^1 , а Г . Тогда
В силу свойства класса * [Ьк будем иметь
~ 1/и
А(*Л)х !*-*!* 1?-£ I к 1±-+| (1-2Л0)
и (см. (22(2)] , стр. 393)
К- + | X Теперь, в силу (1.2.10) и (1.2.11), получим
<Н*ДК1?-±1 * 3 КСА^) , + . (1.2.12)
Отсюда будем иметь,
п ^ ту,п /'%і)іоііі ?*,, .с|г-ї.І М«і
Если теперь учесть, ЧТО |г~£|
то, в силу леммы І.І.З, для Г € ^ С В^С 5е.)получим
Е> 4 3 ( +4) !г~^Т7ї7ТЗГ
к_£ г ~
2) <1 < 2 ^ кч . В силу свойства класса кривых ,
будем иметь