Изопериметрические неравенства для моментов инерции плоских областей

• Автор: Салахутдинов, Рустем Гумерович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 107 с.

Содержание
1 Интеграл от квадрата конформного радиуса и его обобщения
1.1 Изопериметрическое неравенство для конформного момента инерции области
1.2 Оценки норм конформного радиуса в пространствах Ьр
1.3 Аналитическое неравенство Пуанкаре в областях класса Джона
1.4 Точные оценки скалярного произведения Петерсона через нормы Бергмана со специальными весами
2 Интегралы от функции расстояния
2.1 Изопериметрические неравенства для выпуклых областей
2.2 Случай односвязных областей и некоторые обобщения на трехмерный случай
2.3 Аналоги неравенства Ф. Джона для прямоугольников
3 Точное решение основных задач теории упругости для
плоскости с отверстием в форме аэродинамического профиля

3.1 Постановка задач на плоскости и сведение к двум задачам Шварца
3.2 Решение краевых задач. Приложения к задаче обтекания аэродинамического профиля стоксовой жидкостью и одной изопериметрической проблеме

Введение
В диссертации изучаются изопериметрические свойства геометрических функционалов односвязной области, которые связаны с физическими величинами, встречающимися в теории упругости.
Изопериметрические неравенства являются постоянным предметом исследования в различных областях математики, механики и физики, что связано с большим числом практических задач, которые часто носят изопериметрический характер. Одним из самых известным примеров является задача, решение которой выражается классическим изоперимет-рическим неравенством. Изопериметрическим задачам посвящено большое число работ. Классические результаты и гипотезы подытожены в известной монографии Г. Полна и Г. Сеге [26]. Дальнейшие результаты связаны с новыми геометрическими неравенствами, оценками норм оператора вложения в пространствах Соболева, методами геометрической теории функций и, особенно, методами симметризации.
Более глубокому изучению и систематизации изопериметрических неравенств посвящены монографии К. Бэндл [45], Г. Хадвигера [36], В.Д. Бураго и В.А. Залгаллера [8], Р.П. Сперба [71]. Современному состоянию этой области науки посвящены обзорные статьи Л.Е. Пейна [62], В.К. Ионина [13], Оссермана Р. [60], В.Н. Дубинина [11] и Г.В. Кузьминой [17]. Изопериметрические неравенства тесно связаны с оценками норм вложения в пространствах Соболева (см., например, [21], [30]).
Исследованию изопериметрических неравенств посвящены статьи М. Эссена [39], Г. Полиа [63], Дж. Дженкинса [51], А. Вайнстейна [64], Г. Сеге [74], М. Шиффера [38], Дж. Херша [55], [56] Л.Е. Пейна [61], В.Н. Дубинина [11], [50], А.Ю. Солынина [31], Р. Банеолиса, Т. Каррола [47], К. Бендл и М. Флючера [46], Ч.С. Стантона [72], В. Андриевского,
В. Хансена, Н. Надирашвили [40], А. Хубера [57] и других. Наиболее

Тогда интеграл от -фг)2 будет представлять площадь образа, то есть
JJ ф'(г)2с1хс1у = ж.
Следовательно, справа в (1.30) стоит некоторая ограниченная величина. Покажем, что левая часть равна бесконечности. Прообраз круга £-плоскости радиуса 1/2, с центром в нуле, покрывает некоторую конечную площадь плоскости 2. Тогда выполняется неравенство
Як., и > їД.ии'“"= +со'
Таким образом, интеграл от ф(г)2 обращается в бесконечность. Следовательно, если 5(1)) = оо, то не существует конечной постоянной К(Б), удовлетворяющей (1.30).