Емкости и поверхностные меры в бесконечномерных пространствах

• Автор: Пугачев, Олег Всеволодович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 65 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1. Общая характеристика работы
2. Краткое содержание диссертации
3. Список публикаций автора
1. Классы Соболева и емкости
1.1. Дифференцируемость мер
1.2. Классы Соболева
1.3. Емкости
1.4. Метод свертки
1.5. Плотность емкостей, порожденных классами Пг'р
1.6. Плотность емкостей, порожденных классами ¥г,р
2. Поверхностные меры
2.1. Абсолютная непрерывность образа меры на прямой
2.2. Поверхностные меры
2.3. Формула Остроградского-Гаусса '
2.4. Метод локальных функций
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Соболевские классы функций играют важную роль в бесконечномерном анализе. Это связано с тем, что обычные определения дифференцируемости, обобщенные на бесконечномерный случай (дифференцируемость по Гато, Адамару, Фреше) во многих задачах оказываются слишком жесткими условиями, накладываемыми на функции, и не охватывают нужные классы функций. Так, например, ненулевые функции с компактными носителями в бесконечномерном пространстве не могут быть даже непрерывными. Однако в геометрической теории меры и в теории случайных процессов часто возникает потребность в построении функций, сосредоточенных на компактах и обладающих некоторыми свойствами дифференцируемости. Например, в [48], где описывается построение диффузии, ассоциированной с формой Дирихле
требуется ПЛОТНОСТЬ емкости С'х,2, порожденной мерой р, а в [32] при построении поверхностной меры в винеровском пространстве строятся функции с компактными носителями, сходящиеся к 1 по всем соболевским нормам.
Вопрос о плотности соболевских емкостей, порожденных радо-новской вероятностной мерой р, рассматривался во многих работах. Этот вопрос является принципиальным как для построения и изучения диффузионных процессов, так и для исследования поверхностных мер.
В случае М” при любой вероятностной мере плотность емкостей СГ)Р любого порядка очевидна. Кроме того, в [6] и [13] была
Туревеі Ьу Ал4<8-ТеХ

доказана плотность емкости СгР для меры Лебега на ограниченной достаточно регулярной области в КА Для гауссовских мер в бесконечномерном пространстве ответ также положителен (см. [32], [38]). Для негауссовских мер на сепарабельном банаховом пространстве плотность емкости СДг давно известна (см. [48]), для емкости СДр при р ф 2 этот результат был обобщен М.Рёкнером и В.Шмуландом в [54]. Случай г > 1 до сих пор не был рассмотрен.
Поверхностные меры в бесконечномерных пространствах представляют значительный интерес как для самой аналитической и геометрической теории меры, так и для ее приложений в нелинейном анализе и теории случайных процессов. В частности, они играют важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений относительно функций и мер (см. [16], [17]). Отметим, что оценки, связанные с поверхностными мерами в бесконечномерных пространствах, оказывыаются полезными при изучении предельных теорем для бесконечномерных случайных векторов, особенно при исследовании количественных характеристик типа скорости сходимости (см. [2], [14], [22], [23]). Аналитические методы, использующие поверхностные меры, эффективны и во многих качественных задачах, связанных с предельными теоремами (см. [7]).
Известны два подхода к построению поверхностных мер в бесконечномерных пространствах. Первый подход, восходящий к работе А.В.Скорохода [15] и существенно развитый в работах А.В.Угланова [16], [20], [21], основан на построении локальной поверхностной меры на достаточно малых окрестностях точек поверхности. Этот метод работает для широкого класса пространств при минимальных требованиях на гладкость меры и поверхности. На основе конструкции поверхностной меры Угланова были обобщены на бесконечномерный случай классические формулы векторного анализа (см. [10], [11]). В.И.Богачев в работе [35] показал, что теорию Угланова можно модифицировать, применив идеи исчисления Маллявэна (которое появилось в [49] как новый метод доказательства гладкости мер).
Совершенно иной подход был предложен П.Маллявэном [49] и реализован в работе Э.Эро и П.Маллявэна [32] для случая вине-ровской меры. В этом методе мера строится сразу на всей по-

< / тт {2вир |и|; п вир |Уи| 2 к ||а:||у}Р р{йх) —> О

при к —у со в силу теоремы Лебега. Обозначим через Су норму оператора вложения Н У. Тогда
-Рн<Рк(х) - Вдпр(х) < Су
•гшп|2вир|Уи| .]£(||уУ. +1); (8ир]У2«| ||®||у + вир|Уи|)
что такясе ограничено и стремится к нулю в каждом х. Аналогично можно, применяя цепное правило, доказать Ьр-сходимость производных вдоль Н более высокого порядка. Таким образом, || — <р\г,р —> 0 при к —* оо, при любых р, г > 1.
Поскольку ЕС£°(Х) |у вложено в ЕС{У) изометрично и плотно относительно нормы || ||г>р, любая функция / 6 Уг’р(У,р.) принадлежит также УГ,Р(Х, /г). Обратное следует непосредственно из (6).
Доказательство теоремы 1.6.7. В доказательстве теоремы о банаховом носителе ([4, теорема 3.5.5]) был построен компакт К, на линейной оболочке которого сосредоточена мера р, и банаховы пространства Е. и Е0, такие, что К является компактом в Еа, Еа компактно вложено в Е, а Е непрерывно вложено в X. Без ограничения общности можно считать, что Н непрерывно влодсено в Е. Действительно, если это не так, заменим Е на пространство Е = Е + Н с нормой
\у\Е1 = ЫД > 0 : Г1у ЕЕнУ иЕ}.
Шар иЕо относительно компактен в Е в сильной топологии, значит, и в слабой. Шар IIн слабо компактен в Н, следовательно, ив Е. Отсюда вытекает, что абсолютно выпуклое множество И = IIЕо + иЕ слабо относительно компактно в Е. По факториза-ционной лемме Дэвиса-Фигеля-Джонсона-Пелчынъского (см. [9, с. 124]) существует рефлексивное банахово пространство У, непрерывно вложенное в Е, такое, что Б С Еу-