Базисы люстига и фильтрация Шуберта в квантовых супералгебрах Серра типа

• Автор: Аль-Натор Мухаммед Субхи
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 с.

ГЛАВА 1. Супералгебры Дринфельда-Джимбо типа I
§1. Супералгебры Ли типа I
§2. Супералгебра Uq{g)
§3. Классический предел супералгебры Uq(g)
§4. Свободность треугольного разложения супсралгебры U
§5. Модули со старшим весом
ГЛАВА 2. Корневые векторы и базисы Люстига в квантовых
супералгебрах Серра типа I
§1. Малая квантовая группа Вейля Wq(%'Q)
§2. Корневые векторы и базисы Люстига
§3. Доказательство теоремы 2.29 при g = А(т,п)
§4. Доказательство теоремы 2.29 при g = С(п)
§5. Контрагредиентные супералгебры Ли рангов 1,
с неразложимыми матрицами Картана
§6. Доказательство предложений 2.15, 2
ГЛАВА 3. Стандартные базисы Люстига и фильтрация Шуберта
в квантовых супералгебр Серра типа I
§1. Супералгебра Dq(g)
§2. Стандартные базисы Люстига
§3. Фильтрация Шуберта
§4. Доказательство стандартности систем Тп (г = 0,... , 3) при g = Aim, п)
§5. Доказательство стандартности системы Тта g = С(п)
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность работы. Теория представлений алгебр и супералгебр Ли ш рае! принципиальную роль в решении тех или иных топологических задач. Например, задача классификации неприводимых представлений комплексной полупростой группы Ли в банаховых пространствах сводится к задаче классификации простых модулей Хариш-Чандры над алгеброй Ли этой группы. Помимо этого, супералгебры Ли имеют фундаментальное значение для современной физики, использующей их для описания статистики Бозе-Ферми в квантовой теории поля. В последние годы список математических объектов, применяемых в физике, пополнился квантовыми оболочками сим-метризуемых алгебр Каца-Муди, т.е. алгебрами Дринфельда-Джимбо. Использование этих алгебр связано с надеждой преодоления проблемы расходимости в квантовой теории поля.
Исследование квантовых алгебр можно рассматривать как часть общей проблемы построения универсального “д-анализа”, состоящего в описании “квантовых деформаций” основных объектов классического анализа, в том числе групп и алгебр Ли, однородных многообразий, специальных функций, связанных с этими многообразиями, и т.д. Несмотря на то, что эта идеология имеет определенное отношение к квантовой физике, первые работы по д-анализу появились еще в начале века. В настоящее время имеется большое число работ по д-анализу, в том числе по теории квантовых групп. Достаточно отметить монографии [1 ]—[7], справочник [8] по теории д-деформированных гипергеометрических функий.
В теории квантовых групп существенную роль играют алгебры Дринфельда-Джимбо ид(д), где д - полупростая комплексная алгебра Ли или (в более общем контексте) симметризуемая алгебра Каца-Муди. Структура алгебры £/9(д), определяемой как “квантовая оболочка” алгебры Ли д, в известной степени подобна структуре универсальной обертывающей алгебры 6г(д). В частности, алгебра ид{д) обладает “треугольным разложением” с компонентами Серра Более того, в алгебре
17ч(д) существуют аналоги базисов ПБВ (Пуанкаре-Биркгофа-Витта), ассоциированные с треугольным разложением и называемые базисами Люстига алгебры ид(д). Известно также, что алгебра 11д(д) однозначно восстанавливается по своей компоненте Серра 59(д) как модифицированный квантовый дубль, определенный В. Дринфельдом (см. [9], [4]).
В данной работе рассматривается вопрос о построении аналогичной теории для квантовых оболочек простых комплексных супералгебр Ли. В частности, для супералгебр Ли типа I (т.е. типов А(т,п), С(п)) удается построить специальные аналоги базисов ПБВ, названные “стандартными базисами Люстига”. Кроме того, изучается связь между этими базисами и фильтрацией Шуберта, определяемой посредством ядер некоторых “дифференциальных операторов”. Подобная конструкция хорошо известна в теории алгебр Дринфельда-Джимбо, ассоциированных с полупростыми комплексными алгебрами Ли. Для этого случая в работах [1], [10] (см. также [11]) введено понятие фильтрации Шуберта в квантовых алгебрах Серра, отмечена связь этой фильтрации с базисами Люстига в терминах “дифференциальных операторов”, действующих в квантовой алгебре Серра. Использование фильтрации Шуберта представляет собой естественный инструмент в теории кристаллических модулей для алгебр

Дринфельда-Джимбо (см. [12]). Существенную роль в этой конструкции нграет квантовая группа Вейля, действующая автоморфизмами в алгебре Дринфельда-Джимбо. Отсутствие аналога этой группы в суперслучае приводит к известным трудностям, которые удается преодолеть для квантовых супералгебр Серра типа I.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании квантовых супералгебр Серра ^(д), где д — простая супералгебра Ли типа I (т.е. типов А(т,п), С(п)). Основная часть работы состоит в построении специальных базисов (аналоги базисов ПБВ) в алгебре 5'ч(д), в исследовании связи этих базисов с фильтрацией Шуберта в 5д(д), в описании этих объектов в терминах проекционных операторов алгебры 5д(д).
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, для квантовых супералгебр Серра 59(д) типа I состоят в следующем:
1. Предложена общая конструкция систем корневых векторов и базисов Люстига для квантовых супералгебр Серра типа I.
2. Предложена специальная конструкция стандартных систем корневых векторов, определяемых квазидифференциальными соотношениями в 59(д).
3. Доказана теорема существования и единственности стандартных систем корневых векторов для всех нормальных порядков в системе положительных корней супералгебры д = Д(0,?г), А(п, 0), С(п), а также для некоторого класса нормальных порядков при д = А(т,п), т,п ф 0.
4. Введено понятие фильтрации Шуберта для супералгсбр 5в(д), отмечена связь этой фильтрации с базисами Люстига, получено ее описание в терминах проекционных операторов.
5. Получены соотношения биортогональности между сопряженными стандартными базисами Люстига.
6. Все эти результаты получены также для квантовых супералгебр Серра рангов 1, 2 с неразложимыми матрицами Картана.
Методы исследования. В диссертационной работе применяются в основном методы теории квантовых групп и так называемый метод экстремальных векторов, заключающийся в систематическом исследовании ядер некоторых квазидифференциальных операторов.
Обоснованность научных положений. Полученные в диссертации результаты обоснованы строгими математическими доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории квантовых супералгебр Дринфельда-Джимбо и их приложений в теоретической физике.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались ежегодно на XXX-XXXV научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (РУДН) (Москва, 1994-1999), а также на научном семинаре по теории представлений кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 49 наименований. Диссертация содержит 125 страниц текста и 3 таблицы. Каждая глава состоит из параграфов; пункты и формулы нумеруются внутри

где = (Гг • ■ • Г(_х)(гг • • • Гг), ги; = Г;. Случай д' = Соответствующие базисы Люстига, обозначаемые через £+, £~, определяются по аналогии с 2.11, где (см. 2.10) [к]а = [А;],, с?; = (а;, а,)/2 (здесь а* простой корень), если а = ша, для некоторого гг 6 ТК(д').
В дальнейшем символ ЬГ{.У+ (соотв., ЬКУ~) означает множество всех систем корневых векторов в и^(д') (соотв., в [/“(д')), вычисленных по правилу (2.47).
2.25. Замечание. Корневые векторы (2.47) не зависят от выбора приведенного разложения элемента и>р-1.
2.26. Замечание. Для построения системы корневых векторов, в отличие от алгоритма из 2.21, здесь не требуется предварительного построения специальных систем корневых векторов. Однако справедливо (для полноты изложения и для сравнения с суперслучаем мы докажем следующий известный факт).
2.27. Предложение. Сохраним обозначения 2.24. Любые две системы корневых векторов ЕТ, Еа £ ЬКУ+, вычисленные соответственно с помощью гу^ах, 'Шп,ах (в обозначениях 2.1) получаются друг из друга применением алгоритма, определенного в 2.21.
Доказательство. Сохраним обозначения 2.1. Напомним, что гп^ах, гУтах получаются друг из друга композицией соотношений (1.3)—(1.5). Можно считать, что гг^ах получается из №^,ах применением одного из этих соотношений.
a) ги£,ах получается из с помощью соотношения (1.3). Тогда
= ШТЧгХ, «Сах = ГгЮ'.
Для каждого еа € ЕТ условимся использовать обозначение ета. Кроме того, при а = полагаем ета = ё[у В дальнейшем, где это возможно, мы будем опускать индекс т в е7а. Мы должны показать, что Ет = Еа (см. 2.21). Согласно 2.25, ет = е° при 7 ф а, (3. Далее, из соотношения Гг^,- = ej получаем
ета = = ьзг^ = е£,
ет0 = = и>е^ = е%
что и требовалось доказать.
b) получается из с помощью соотношения (1.4). Тогда
«4ах = *ПГДш',
Согласно 2.25, корневые векторы из ЕТ, Еа с весами, отличными от а, а + (3, Р, совпадают. Покажем, что ета = е£, ет0 = еДействительно, из соотношения = еу находим
ета = = хит= еаа, (2.49)
етр = wrirjei = wej = е%. (2.50)
Осталось показать (см. 2.21), что
С+р = [е},ета],