Метод следа для поиска дискретных метагрупп преобразований на дифференцируемых многообразиях

• Автор: Делюкова, Яна Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 86 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Точечные дискретные метагруппы преобразований
§1. Основные определения дискретно-группового анализа, конкретизация постановки задачи
§ 2. Поиск точечной ДМП при наличии допускаемой алгебры Ли
операторов
§3. Доказательство максимальности точечной дискретной метагруппы класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера
§ 1. Предварительные сведения
§ 2. Преобразования Беклунда, сохраняющие точечную структуру оператора
§ 3. Применение метода следа для доказательства максимальности дискретной метагруппы преобразований класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера, найденной методом
М<-пар
§ 4. Описание алгоритма
§ 5. Пример использования оператора непрерывной группы для
поиска экспоненциальных нелокальных операторов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования. Работа посвящена исследованию дискретных метагрупп преобразований на дифференцируемых многообразиях. Появление в математике понятия многообразия (впервые сформулированного Риманом), являющегося абстракцией весьма различных конкретных множеств, было вызвано потребностями геометрии, математического анализа и механики. Наиболее важное значение приобрели дифференцируемые многообразия, поскольку именно они позволяют определить дифференцируемые функции на многообразиях и другие понятия математического анализа. Кроме того, определение дифференцируемого многообразия делает возможным применение методов математического анализа вне зависимости от того, какие координаты положены в основу вычислений. Это обстоятельство и обусловливает широкое использование дифференцируемых многообразий в приложениях и в смежных областях, где многообразия изучаются не сами по себе, а в соединении с некоторыми другими объектами.
Ярким примером к сказанному может служить теория непрерывных групп, одним из стимулов к изучению которых для Софуса Ли явилось их применение для исследования дифференциальных уравнений. При этом особенно существенной и важной оказалась трактовка дифференциального уравнения как многообразия в продолженном пространстве, что позволяет использовать инфинитезимальный критерий инвариантности многообразий, базирующийся на разработанном С.Ли методе сопоставления каждой непрерывной группе преобразований некоторого линейного дифференциального оператора. По предложению С.Ли говорят, что уравнение Е допускает группу (или оператор), если Е есть инвариантное многообразие надлежащим образом продолженной группы. Одним из впечатляющих достижений С.Ли явилось открытие, что все известные методы интегриро-

вания обыкновенных дифференциальных уравнений на самом деле являются частными случаями общей процедуры интегрирования, основанной на инвариантности многообразия относительно некоторой группы симметрий. Непрерывные группы, представляющие собой соединение в одном объекте групповой и топологической структур, взаимно связанных требованием непрерывности групповой операции, впоследствии стали называть группами Ли.
Математическое направление, предметом которого является совместное рассмотрение многообразий, заданных дифференциальными уравнениями, и их симметрий, являющееся, таким образом, “пограничным” между математическим анализом и дифференциальными уравнениями, получило название группового анализа.
Групповой анализ не ставит целью решение классических задач теории дифференциальных уравнений (доказательство существования и единственности решений, изучение асимптотик и поведения решений в окрестности особых точек и т.д.), а дает методы описания симметрий многообразий и задающих их уравнений (в широком смысле, не только дифференциальных). Это, в свою очередь, позволяет находить и классифицировать способы понижения порядка и методы отыскания общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и инвариантных решений уравнений математической физики, и что особенно важно, доказывать максимальность (неулучшаемость в рамках сделанных предположений) полученного результата.
Начало широкого применения идей Ли в теории уравнений с частными производными связано с именем академика Л.В.Овсянникова. Такое расширение области применения потребовало разработки новых понятий и алгоритмов, стимулировало большое число исследований, связанных как с конкретными уравнениями механики и физики, так и с углублением самой теории. В частности, было введено понятие уравнения с произвольным

будем считать, что /,Я € Ъ и ФТР' 0 (т.е. 0). Условие
Ф'Ч*' 0 исключает из множества решений определяющего уравнения тождественное решение.
Покажем, что при /,Я $ (0,1,2,3} решений уравнения (1.3.7) нет,
так как приравнивание коэффициента при старшей (если / >3) или при младшей (если К 0 ) степени нулю влечет равенство нулю якобиана .
(1.3.6) преобразования (1.3.5). Действительно, для значений / > 3, Я <

домножим обе части уравнения (1.3.7) на выражение фЧ'-ЬгЧ/'+аи’Чг') и приравняем нулю коэффициент при :
--г(аФЧ" -РФ'Ч/)Ч"'К2т =0, ак+1
отсюда с необходимостью вытекает равенство нулю якобиана А. Для / > >3, Я> 3 домножим обе части уравнения (1.3.7) на (аФ —ЬгФ' +ац>Ф')1' и приравняем нулю коэффициент при м!(1+х>:
Аах~1 (аФЧ'1 -рФ'ЧФ' =0,
отсюда следует / = 0. К аналогичному выводу приходим, рассматривая значения / <0, X <0; К ОД > 3. При I > 3, Я € (0,1,2,3}; I € {0,1,2,3},
X >3; /€ {0,1,2,3}, X <0; I <0, Я € {0,1,2,3} определяющее уравнение
(1.3.7) не имеет решений согласно лемме 1.2.
Таким образом, /, Я могут принимать значения лишь из множества {0,1,2,3} и в силу преобразования годографа (1.3.8) достаточно рассмотреть следующие значения / и Я:
А. / =Я =0; В. 1 = 0, X =1; С. /= Я=1.