Геометрические и функциональные свойства решений задачи Хеле-Шоу

• Автор: Кузнецова, Ольга Святославовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 103 с.

Содержание
Введение
1 Основные свойства уравнения Хеле-Шоу и оператора
Шварца
1.1 Модель Хеле-Шоу для односвязной области
с источниками
1.2 Свойства *-оператор ц оператора Шварца
1.3 Теорема Ричардсона о площади- '
1.4 Функция Шварца
1.5 Неравенство на мнимую часть
оператора Шварца
2 Инвариантные семейства
2.1 Вспомогательные дифференциальные
неравенства
2.2 Внутренние и внешние радиусы решения
2.3 Априорные оценки нормы первой производной
2.4 Инвариантные семейства
2.5 Моменты и инвариантные многочлены
2.6 Асимптотические свойства решений
уравнения Хеле-Шоу
3 Задача о сдавливании

3.1 Постановка задачи
3.2 Вспомогательные утверждения
3.3 Вспомогательная интегральная формула
3.4 Доказательство теоремы 3.1

Введение
Исторические замечания. Настоящая работа посвящена исследованию методами комплексного анализа эволюционных семейств нестационарных однофазных задач математической физики со свободными границами, описывающими динамику ячейки вязкой жидкости Хеле-Шоу и некоторые другие физические процессы.
В 40-х годах П.Я. Полубаринова-Кочина [36] и П.П. Куфарев [33] исследовали задачу об эволюции нефтяной залежи определенной геометрической формы, окруженной водой, в результате откачки нефти из скважины, расположенной внутри залежи. Полученное.эволюционное уравнение впоследствии изучалось П.П. Куфаревым и Ю.П Виноградовым [9] путем сведения к подходящему интегральному уравнению. В зависимости от параметров эволюционного уравнения, задача Хеле-Шоу имеет различные физические интерпретации, самые распространенные из которых: забор нефти из пористых сред, закачивание вязкой жидкости в плоскопараллельный слой, заполненный другой вязкой жидкостью, отыскание оптимального расположения источника закачки, в данной полимерообразующей форме и другие задачи гидродинамики. Родственная задача возникает в случае сдавливания капли вязкой жидкости заданной начальной конфигурации двумя параллельными плоскостями (так называемая squeezing problem), а так же в случае прессовки мягких материалов, в электрохимическом машиностроении, в процессе роста кристаллов и в других эволюционных моделях.
В своей простейшей форме, когда вязкость внешней среды (воздуха) и поверхностное натяжение на границе раздела сред пренебрежимо

1.4.2. Введем следующее обозначение. Для данной голоморфной
функции /(г), определенной в области В, через /(г) обозначим со-
пряженную функцию:
/(*) = /(?), г € I) = {С, С £ Щ-
Ясно, что /* = (/)*, /5 = 7 9 и 7 = /'
Пусть далее О — образ единичного круга С/ при отображении с помощью однолистной функции С = ги(г) € 0(11), и через 9(0 = 9((егв)) = С = и}(Вв) = ги(е~гв) = Щ1/егв).
Но функция д(ю(г)) голоморфна в некоторой окрестности единичной окружности как композиция голоморфных функций (здесь используется принадлежность го £ 0(17)). С другой стороны, правая часть последнего равенства 70(0 является также голоморфной в окрестности 80. Действительно, если Е — область голоморфности го, то Е Э 17. Область голоморфности ги(г) есть Е Э 17 (так как 17 = 17), а, следовательно, область голоморфности функции го(1/г) есть Д-1 = {С : £ Е}
как 17' С Е, то множества Е и Е~1 содержат некоторую окрестность единичной окружности 80 (по свойству инверсии).
Получаем, что обе функции д(ги(г)) и Ш(1/г) голоморфны в окрестности 80 и совпадают на сЮ. Следовательно, они совпадают всюду на области определения, то есть
д(ги(г)) = ш( 1/г). (1.23)
Из последнего соотношения после дифференцирования (для краткости договоримся в этом пункте штрихом обозначать производную аналитической функции) имеем
д1('ш(г))"ш,(г)=й1( 1/г)