Геометрические свойства дискретных двупорожденных групп в пространстве Лобачевского

• Автор: Рассказов, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 105 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ.
Введение
Глава I. Предварительные результаты
§ 1. Основные определения
1.1. Пространства постоянной кривизны
1.2. Гиперболическая геометрия
1.3. Группа изометрий пространства Лобачевского
1.4. Классификация элементов мебиусовой группы
1.5. Дискретные группы
1.6. Фундаментальные области
1.7. Теорема Пуанкаре
§ 2. Орбифолды
2.1. Определения
2.2. Локальная структура ориентируемых
трехмерных орбифолдов
Глава II. Строение канонического фундаментального множества для орбифолда 0[р/дп)
§ 1. Двумостовые узлы и зацепления
§ 2. Фундаментальное множество
орбифолдов 0(р/д, п)
2.1. Строение фундаментального множества орбифолдов (9(р/д, 2)
2.2. Фундаментальное множество орбифолда на
узле восьмерка
2.3. Алгоритм построения канонического фундаментального множества для орбифолда 0(р/д, п)

2.4. Теоремы существования и единственности канонического фундаментального многогранника
2.5. Примеры 49 Глава III. Изометрии гиперболических многообразий Фибоначчи
§ 1. Введение
§ 2. Симметрии узла восьмерка
§ 3. Максимальность группы П(п)
§ 4. Фактор-орбифолды
Г лава IV. Функции роста групп двумостовых узлов и зацеплений
§ 1. Введение
§ 2. Функция роста замощения
§ 3. Функция роста группы двумостового узла
§ 4. Следствия и примеры
Литература

ВВЕДЕНИЕ.
Теория дискретных групп преобразований на плоскости и в прог странстве возникла еще в конце прошлого века в связи с появлением работ Ф.Клейна и А.Пуанкаре. Она была использована ими для изучения многозначных аналитичных функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследуя группу АЛ дробнолинейных преобразований расширенной комплексной плоскости С = С U оо, порожденную отражениями относительно окружностей и прямых, А.Пуанкаре обнаружил, что подгруппы, сохраняющие инвариантной верхнюю полуплоскость {Im z > 0 | я £ С}, группы АЛ являются группами гиперболических изометрий И2 относительно гиперболической метрики ds2 = \dz\2/(Imz)2. Развивая геометрический подход, А.Пуанкаре показал, что всякая группа Ai допускает продолжение в верхнее полупространство Н3 = {(x,y,t) £ К3 |я = ж + г у £ С, 1: > 0} и является полной группой изометрий пространства Лобачевского Н3 с гиперболической метрикой ds2 = (d,x2 + dy2 -f dz2)/t2. Позже была обнаружена связь между дискретными группами и трехмерными многообразиями.
Однако отсутствие развитого математического аппарата не позволило получить более глубоких результатов. Лишь в шестидесятых годах нашего столетия после появления теории квазиконформных отображений, теория дискретных групп преобразований начинает интенсивно развиваться. В это время появилось большое количество работ, в которых применялись аналитические методы, методы теории квазиконформных отображений, алгебраические, геометрические и топологические методы. Среди них наиболее значительными являются работы Л.Альфорса, П.П.Белинского, Л.Берса, Л.Гринберга,
Э.Б.Винберга, С.Л.Крушкаля, М.А.Лаврентьева, А.Мардена, Б.Мас-кита, Ю.Г.Решетняка.

Рассмотрим многогранник V. образованный вершинами Р,;, С,)],
ребрами Р,С, Р,;Рг+1 и гранями РгР)+(3, где г = 0
QPь Дь <51-Ро Рз, (йРч - р2, Qop2 - .-Рг.
Легко видеть, что каждая из криволинейных граней состоит из пяти треугольников.
Заметим, что описанный криволинейный многогранник гомеомор-фен сферическому многограннику, изображенному на рисунке 4. Как и в сферическом случае, прямые [Ро, Р5], [Рг, Р7] являются неподвижными множествами изометрий 5 и Т соответственно. Используя преобразование ж —> 4ж + (2,1,0), ж 6 Е3, можно найти более удобные координаты для вершин многогранника Р:
«0 = (-1,0,1) Р9 = (1,4,1) (1, —4,1)
<Э, = (1,0,-1) Ро — (3,2,1) Р, = (-1,-4, —1)
Р, = (“1,4, —1) В = (3,0,3) а = (-1,-2,-3)
Рг = (—3, 2,-1) Р2 = (1, —2,3) Р6 =(-3,0,-3)
Покажем теперь, что построенный многогранник V является фундаментальным множеством для группы < 5, Т > в Е3. Проверим условия теоремы Пуанкаре и определим представление для группы < Б,Т >. Для этого определим внутренние двугранные углы между смежными прямолинейными гранями, образующими многогранник. Мы имеем:
7 27г
соз(/Р3Р4) = соз(/Р8Р9) = /РоДз = Р-гРч = -у,
СОЗД) = С08(/Р1Р2) = СОз(/РгД|) = СОвРРц)