О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями

• Автор: Меленцов, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Глава 1. Приближения функций класса IV“([ОД]2) билинейными функциями

§ 1.1.Формулировка основного результата

§ 1.2. Полиномиальные билинейные функции, связанные с разбиением квадрата на прямоугольники

§ 1.3. Оценка уклонения функции от многочленов степени 1 = а-1 на

прямоугольнике

§ 1.4 Оценка уклонения функции от билинейных функций, связанных с любым заданным разбиением квадрата

§ 1.5 Конструкция разбиения квадрата на полосы

§ 1.6. Оптимальная конструкция разбиения квадрата на прямоугольники

§ 1.7. Оценка наилучших приближений функций класса IV“ (I2) билинейными функциями

Глава 2.0 точности оценок приближения функций соболевского класса г;([ОД]2) билинейными функциями
Глава 3. Оценка приближенного решения интегрального уравнения, полученного заменой ядра класса билинейной функцией

Глава 4. Приближенное решение интегрального уравнения заменой ядра на вырожденное с использованием билинейной аппроксимации
Литература

В теории приближений традиционной является задача приближения функций f объединенных в некоторый функциональный класс F, полино-

мами ’Yjcjpff) с постоянными коэффициентами и задача вычисления или

I М
оценки величины ти (F) = sup inf / ■
fsF с, II S
Для функций нескольких переменныхf(x,у), х е R", у е Rm, начиная с 1907г., изучаются также приближения с помощью сумм произведений

функций от меньшего числа переменных gM(x,y) = YjVsWvAy) > называв5*1
мых билинейными функциями порядка М, которые формально можно считать полиномами порядка М по х с переменными коэффициентами.
Первый результат по приближению билинейными функциями был получен Е.Шмидтом [12], который в 1907 г. изучал наилучшие приближения периодических функций двух переменных суммами произведений функций одной переменной в f. В. Н. Темляковым в ряде работ (см., например,
[13, 14]) найдены порядки приближения ти (F)q в метрике Lq классов F
дифференцируемых периодических функций f{x,у) многих переменных
ГдДЛ, =sup inf (l feF “/(■*)> vi(y) II '=1 L
и _
билинейными функциями £w,(x)v,0) для классов Wrpa, swr, я; и NH'p

Глава
|Ax'[W sup DaJ{xvx2) *2^2
Очевидно, что последнее неравенство при Tj = 0 тоже справедливо. Объединяя конструкцию раздела 4 разбиения квадрата /2 на полосы П, /=1,2,...Д, где (N = N(N,p,q,a,f)) с конструкцией этого раздела построения точек (6.5), разбивающих каждую полосу П, на прямоугольники Пя. прямыми JC, = х,7' и X, = х,': (у=1,2,...Д, где N, = NXN,p,q,a,f)), получим требуемое разбиение
К ={П„|у = 1,2,...Д(; / = 1,2,...Д} (6.8)
квадрата I2 на прямоугольники, для которого справедлива следующая Лемма 5.1 .Пусть {П, |/=1,2,...Д} - разбиение квадрата I2 на полосы П; = {(х„х2) 10 < х, < 1, х2 е Дх2} из леммы АЛ. Пусть точки кЛг1)17 = 1>2,...Д(г,)-и г, =1,2 «}
Удовлетворяют рекуррентным соотношениям (6.1) при 1<р<да или (6.4) при р = <я, начиная с х1“(г1) = 0, и пусть 0 = 4 квадрата 12, получающееся делением каждой полосы П, на прямоугольнаN ___ _
ки и л прямыми х] =4 0' = 1,2,...д~1), где £ = ]TiV( (N = N(N,p,q,a,f)
Тогда для разбиения R% выполняются оценки (6.6) при 0 < <7 < да, 1 < р < со и оценки (6.7) при 0 < q < р = 00.
§1.7. Оценка наилучших приближений функций класса w“(i2) билинейными функциями
Пусть Rg (N е N)- разбиение (6.8) квадрата /2, построенное по функ-