Алгебраические и спектральные свойства самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой

• Автор: Сухочева, Людмила Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1995
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 118 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОГО САМОСОПРЯЖЕННОГО
ПУЧКА
|1. Спектральные свойства однопараметрических матриц-функций со значениями во множестве п-самосопряженных операторов
§ 2. Об одновременной приводимости двух самосопряженных операторов к "диагональному виду"
§ 3. Структура спектра самосопряженного пучка
<|4. Существование метрики Понтрягина, симметризующей оператор-функцию с самосопряженными коэффициентами
ГЛАВА II. ВОПРОСЫ ПОЛНОТЫ И БАЗИСНОСТИ ЖОРДАНОВЫХ ЦЕПОЧЕК САМОСОПРЯЖЕННОГО ПУЧКА Ь
§ 1. Двукратная полнота и базисность жордановых цепочек пучка I
2. Полнота и базисность жордановых цепочек пучка Ь в
исходном пространстве
ГЛАВА III. КВАДРАТИЧНЫЙ ОПЕРАТОРНЫЙ ПУЧОК С ПАРАМЕТРОМ
§1. Постановка задачи
§2. Расположение на комплексной плоскости спектра
пучка Ье
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
В математической литературе пионерской работой по созданию и
применению теории пространств с индефинитной метрикой является
новкой С.Л.Соболевым (см. [25]) задачи об условиях устойчивости вращения волчка,заполненного жидкостью, вокруг своей оси симметрии. Эта проблема редуцировалась к изучению спектра самосопряженного оператора в пространстве, ныне называемом пространством Понтрягина Пае (при ж - 1), а такие операторы называют я-самосопряженными.
Далее результаты спектральной теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой были использованы С.Г.Крейном и
Н.Н.Моисеевым [21], рассматривавшими движения аналогичного объекта, близкие к состоянию покоя и в предположении, что жидкость имеет свободную поверхность. При этом задача о нахождении нормальных колебаний сводилась к задаче о собственных числах линейного пучка Ь(а>) - «А - В, где А - положительный оператор, а самосопряженный оператор В задает в гильбертовом пространстве Н структуру пространства Понтрягина Пж (1 < ж < 6) с индефинитной метрикой [и, V] - (Ви, V). Эта задача сводится к спектральному анализу соответствующего я-самосопряженного оператора.
Впервые теорию операторов в пространствах с индефинитной метрикой к изучению квадратичных пучков Ь(Х) - Л21 + ЛВ + С, где В “ В* - непрерывный оператор,С > О, С - вполне непрерывный оператор (( г.») привлекли М.Г.Крейн и Г.К.Лангер, [17], [18], предложившие пучку ставить в соответствие квадратное операторное уравнение г2 + Вг + С - 0 и ассоциированный с ним оператор
полнота системы жордановых цепочек пучка Ь эквивалентна полноте
знаменитая статья Л.С.Понтрягина [24], написанная в связи с поста-

При этом оказывается, что двукратная

системы корневых векторов оператора К в пространстве Н - Н+ © Н-(Н+ - Н- - Н) [12].
‘ При изучении полиномиальных операторных пучков теория операто-
ров в пространстве Крейна использована Н.Д.Копачевским [14],

Н.Д.Копачевским, С.Г.Крейном, Нго Зуй Каном [15], Г. Ланге-ром [35], [36], П.Ланкастером, А.Шкаликовым и Е.Кванг [37],
A.С.Маркусом [23], А.С.Маркусом и В.И.Мацаевым [38], [39].
В работах С.Г.Крейна [20], Н.К.Аскерова, С.Г.Крейна, Г.И.Лаптева [7], рассматривался квадратичный пучок

Ь(А) - АА + - С - I, где А > 0, С > 0, А ( Гр, С £ Тс1 , (1)

возникающий при изучении задачи о движениях тяжелой вязкой несжимаемой жидкости в открытом сосуде. Было показано, что спектр этого пучка состоит из не более чем счетного множества собственных значений конечной алгебраической кратности расположенных в правой полуплоскости, а точками сгущения спектра являются только точки А - 0, А - со.
Предложенное Г.И.Лаптевым преобразование пучка к системе двух линейных пучков позволило с помощью известной теоремы М.В.Келдыша [6] доказать дважды полноту в пространстве Н системы собственных и присоединенных векторов пучка (1).
Дальнейший шаг был сделан Е.А.Ларионовым [22] и независимо
B.Гринли [34]. Ими был использован критерий полноты и базисности системы корневых векторов л-самосопряженных операторов (см. [2]) и

доказано существование двух базисов Рисса для пучка (1).
♦ Изучению квадратичного пучка Ь ограниченных самосопряженных
операторов:
ЦА) - С + АВ + А2А, А = А*, В - В*. С - С*,

3_1В В_1А 3-1В - 3_1А ЗВ.т.е. операторы 3_1А и 3_1В коммутируют и имеет место условие с).
Пусть существует такой равномерно положительный непрерывный оператор 3, что операторы 3_1А и 3-1В коммутируют. По ранее изложенному, оператор В-1А будет Б-самосопряженным и подобным самосопряженному оператору 3~1/2(В-1А)*31/2, т.е. выполняется условие а).
Теорема 2.1. доказана.
Следствие 2.2. Пусть А - положительный непрерывный оператор,
В - непрерывный и непрерывно обратимый самосопряженный оператор и В = В1 + Вг, где Вт - равномерно положительный оператор, а Вг -компактный оператор. Тогда выполняются условия а) - с) Теоремы 2.1.
Доказательство. Покажем, что имеет место условие Ь) Теоремы 2.1. Так как оператор Вт - равномерно положительный, а Вг - компактный, то оператор В = Вт + Вг может иметь разве лишь положительные точки сгущения спектра (см. СШ Теорема 1.5.2). Следовательно, число ж отрицательных собственных значений (с учетом кратности) оператора В не более, чем конечно. Поэтому пространство { Н, Их,у] = (Вх,у) > является пространством Понтрягина Пае с ж отрицательными квадратами (см. Ш Определение 1.9.1, Следствие 1.9.16).
Отметим, что оператор В_1А будет В-положительным: [В-1Ах, х] -- (Ах, х) >0 (х * 8). Согласно Теореме Понтрягина [24] существует ж-мерное, а потому максимальное неположительное подпространство И-, инвариантное относительно оператора В'1А. Более того, это подпространство отрицательно. В самом деле, если бы оно содержало ХОТЯ бы ОДИН изотропный вектор Хо, то [В-1АХо, ХоЗ = о при Хо * 0, что противоречит В-положительности оператора В_1А. Следовательно, И- - отрицательное ж-мерное инвариантное относительно В-1А подпространство. Тогда и N4- - М-Сх3 инвариантно относительно В-1А и положительно (см. [13 Следствие 1.8.13). Так как в пространстве