Гармонический проектор и граничные интегральные уравнения для областей с нерегулярной границей

• Автор: Соловьев, Александр Артемович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 205 с.

1 Введение
1.1 Гармонический проектор
1.2 -теория граничных интегральных
уравнений
1.3 Граничные интегральные уравнения в
пространствах Гельдера
1.4 Асимптотическое поведение решений
граничных интегральных уравнений для области с пиком
2 Гармонический проектор
2.1 Интегральный оператор Бергмана
2.2 Гармонический проектор
2.3 Доказательство основной теоремы
2.4 Бигармонический оператор
3 I?-теория граничных интегральных уравнений
3.1 Предварительные сведения
3.2 Интегральное уравнение первого рода
3.3 Интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле на контуре с внешним пиком
3.4 Интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле на контуре с внутренним пиком
3.5 Интегральное уравнение внешней задачи Неймана на контуре с внешним пиком
3.6 Интегральное уравнение внешней задачи Неймана на контуре
с внутренним пиком
3.7 Замечания
4 Граничные интегральные уравнения в пространствах
Гельдера
4.1 Непрерывность оператора 7г/ — УУв
4.2 Непрерывность оператора 7г/ 4- -щ-У
4.3 Краевые задачи Дирихле и Неймана
в полуполосе
4.4 Граничные интегральные уравнения краевых задач Дирихле
и Неймана в области с внешним пиком
4.5 Граничные интегральные уравнения краевых задач Дирихле
и Неймана для области с внутренним пиком
Асимптотическое поведение решений граничных интегральных уравнений для области с пиком
5.1 Задачи Дирихле и Неймана в области с пиком
5.2 Интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле
5.3 Интегральное уравнение внешней задачи Неймана
5.4 Дополнения
5.4.1 Интегральное уравнение внешней задачи
Дирихле
5.4.2 Интегральное уравнение внутренней задачи
Неймана

Глава
1.1 Гармонический проектор
1.1.1 Пусть О - область на комплексной плоскости, и пусть Ьра(0) - пространство аналитических функций / в области О, с конечной нормой
где Ш2 - мера Лебега в В.2. Значение функции в точке г ^ является непрерывным линейным функционалом В £а(П). В силу теоремы Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве найдется функция Кг{щ) = К (г, ги) € Гд(П) такая, что
Функция К(г, ю) называется воспроизводящим ядром или ядром Бергмана (см. [1, 56]).
Ядро Бергмана играет важную роль при изучении конформных отображений области П на канонические области и в теории ортогональных систем функций, аналитических в П.
Так, конформное отображение ф(г, го) односвязной ограниченной области П СС на единичный круг Б, нормированное условиями ф(г0, го) = О, ф'х(го,го) > 0, где го - фиксированная точка из О., связано с функцией К (г, ю) соотношением
Пусть теперь фк(г), к = 1,... , - полная ортонормированная система

ядром К* действует непрерывно из пространства I?' (R+, хр в пространство Lp (R+, Утверждение Леммы 2.2.7 теперь
следует из Леммы 2.2.6. □
Пусть Е -банахово пространство и Т - оператор, непрерывно отображающий пространство Е в себя. Оператор Т называется фредгольмовым, если область значений R (Г) замкнута и nulT = dimKerT и def Т конечны. Символом Д(Т) обозначим множество всех комплексных чисел д таких, что Т — д фредгольмов. Множество, дополнительное к Д(Т), называется существенным спектром Бе(Г) оператора Т.
Лемма 2.2.8 Существенный спектр оператора Тп содержит в себе образ существенного спектра оператора Т при отображении t -¥tn, т.е.
{тп : г 6 Бе(Т)> С Бе(Т41).
Доказательство. Достаточно доказать, что А(Тп) С (Д(Г))П. Если А = д” принадлежит резольвентному множеству оператора Тп, то д принадлежит резольвентному множеству оператора Т. Так как оператор (Т — д)-1 коммутирует с оператором Т, то
(Г-,.)■'=(>>“ ‘ ^‘br'-Al
fc=0
Ясно, что Кег(Т — д) содержится в Кег(Т" - А). Поэтому пи1(Г - д) < пиЦТ" - А).
Так как R(T” - А) С R(T - д), то def (Г - д) < def (Г” - А).
Рассмотрим факторпространство Е = £|/Кег(71 — д). Оператор U m Е в Е определим по формуле
U{x):= (Т-р)(х),
где æ - любой представитель элемента г из £. Область значений R(T — д) дополняема в Е. Пусть
Е = y+R(T - д),
где V -конечномерное подпространство. Обратный операторі/-1 из R(T — д) в Ê продолжается на все Е по формуле
V(x) -.= U-u),
где и Є R(T ~ р), v Є V иі = іі + ». Оператор V замкнут и, значит, ограничен. Поэтому оператор W-1 : R(T — д) —у Е ограничен также. Отсюда следует, что область значений R(T — д) замкнута. Значит, оператор Т — д фредгольмов. □
Пусть (X, д) является пространством с конечной мерой и Т линейный оператор, действующий из 1?{Х,р) в себя при всех р из множества
М = р : - - 4 < k <
I Р Р