Исследование пространств Соболева в областях с особенностями

• Автор: Поборчий, Сергей Всеволодович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 303 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

1. Предварительные сведения

§ 1.1. Обозначения и определения

§ 1.2. Функции с обобщенными производными

§ 1.3. Классы областей

§ 1.4. Плотность гладких функций в пространствах Соболева

§ 1.5. Неравенство Пуанкаре и эквивалентные нормы в пространствах

Соболева

§ 1.6. О продолжении функций за пределы области определения

§ 1.7. Теорема вложения Соболева

§ 1.8. Теоремы о компактности
2. Продолжение функций, определённых в областях, зависящих от параметров
§ 2.1. Оценки нормы оператора, продолжения во внешность и внутрь
малой области
§ 2.2. Продолжение с нулевыми граничными условиями
§ 2.3. О наилучшем операторе продолжения из малой области
§ 2.4. Внутренность тонкого цилиндра
§ 2.5. Сглаживающий оператор
§ 2.6. Продолжение во внешность тонкого цилиндра
§ 2.7. Операторы продолжения для некоторых областей, зависящих
от параметров
Комментарии к главе
3. Граничные значения функций с первыми производными из
Ьр в областях, зависящих от параметров
§ 3.1. Следы на малых и больших компонентах границы
§ 3.2. Пространство следов для тонкого цилиндра
§ 3.3. Неравенства для функций, определённых на цилиндрической
поверхности
§ 3.4. Норма в пространстве Тдля внешности гг-мерного
цилиндра, р < п —
§ 3.5. Внешность цилиндра, случай р > п —
§ 3.6. Зависящая от е норма в пространстве Т1¥* для внешности
цилиндра ширины £, р = н —

Содержание
Комментарии к главе
4. Продолжение функций во внешность области с вершиной пика на границе
§ 4.1. Интегральные неравенства для функций в областях с
пиками
§ 4.2. Внешний пик. Оператор продолжения: Крг(0) —»• V^CT(Rn),
l p < п —
§ 4.3. Случай lp = п —
§ 4.4. Внешний пик. Продолжение при lp > п —
§ 4.5. Внутренние пики
§ 4.6. Оператор продолжения: lyf (О) —>■ lC(R”’), q < р
Комментарии к главе
5. Теоремы вложения для пространств Соболева в областях
с внешними пиками
§ 5.1. Оценки производных функции, усреднённой по части
переменных .’
§ 5.2. Непрерывность оператора вложения: Vjfä) —> Lq(Cl) для
области с внешним пиком
§ 5.3. О компактности оператора вложения: Kf(O) —> Lq(Cl)
§ 5.4. Теоремы вложения для возмущённых пиков
§ 5.5. Некоторые контрпримеры к теоремам вложения для пространств
Соболева
§ 5.6. Разрешимость задачи Неймана для эллиптических уравнений
высокого порядка
Комментарии к главе
6. Граничные значения функций из пространств Соболева в некоторых нелипшицевых областях
§ 6.1. Шаровые покрытия открытого множества, связанные с
липшицевой функцией
§ 6.2. Следы функций, определённых в области между двумя
липшицевыми графиками
§ 6.3. Области, дополнительные к областям между липшицевыми
графиками ........................................;. - •
Комментарии к главе
7. Граничные следы функций из пространств (fi) в областях
с пиками
§ 7.1. Следы функций с градиентом из L
§ 7.2. Пространство TW^(i1), р> 1, для области с внешним пиком
Содержание
§ 7.3. Граничные значения функции из ТГр(О) для области П С К”
с внутренним пиком, р (Е (1, п — 1)
§ 7.4. Внутренний пик, случай р = п —
§ 7.5. Приложение к задаче Дирихле для эллиптических уравнений
второго порядка
§ 7.6. Неравенства для функций, определённых на поверхности
с пиком
§ 7.7. Пространство Т¥.^ (О,) для области с внутренним пиком,
р > п —
Комментарии к главе
Литература
Список обозначений

§ 1.7. Теорема вложения Соболева
Отметим, что в случае ц = тек,,, непрерывность оператора (4) при условии (5) была доказана С. Л. Соболевым [63], в случае // = iness, ,ч < п - В. П. Ильиным [22], а в случае п = 1 и р. = inesi - ещё Г. Харди и Д. Литтлвудом [96]. Условие (5) при р = 1 является также необходимым и достаточным для справедливости оценки
< С f |Vltldx, С = const,
где I < п, 1 < q < оо и и G C'*(R" ) - произвольная функция (см. Э. Гальярдо [92] для р = iness, s < п и В. Г. Мазья [35] в общем случае).
Приведём обобщение теоремы Соболева на анизотропные пространства VFp(O), I = (Д,... ,/„) £ Zn, li > 0, элементы которых характеризуются конечностью нормы (1.6/4). Теоремы вложения для таких пространств изучались многими авторами. Укажем здесь работы О. В. Бесова [4-6], В. П. Ильина [24, 25], их совместную статью [7] (см. также монографию [8] и имеющуюся там литературу).
Пусть I - вектор с натуральными компонентами, г > О, Ь > 0 и а 6 RB вектор с ненулевыми компонентами. Рогом радиуса г и раствора Ь называется множество
V = {а; 6 R" : л,/а, > 0, t < (х,/аДг* < (1 + b)t, t £ (0,г), 1 < г < п} (6)
(по терминологии, принятой в книге [8], V называется , ■ ■ . Д"1 (-рогам). Предположим, что при фиксированных I, г, b вместе с каждой точкой х £ Q область П содержит и сдвинутый рог х + V = {х + у : у £ V}. Если при этом можно ограничиться конечным набором различных векторов а, то говорят, что S2 удовлетворяет условию рога. Заметим, что такая область может иметь нулевые пики на границе, характер вырождения которых зависит от компонент Z|,... ,1п. В случае I =... = ?„ условие рога равносильно условию конуса. Следующий результат принадлежит О. В. Бесову и В. П. Ильину [4], [24], [7].
Пусть I = (11,..., 1п) - вектор с натуральными компонентами и пусть И -область в R" с условием рога. Предположим, что 1 < р < q < оо, a: £ Z+ и
0 = г- (p-i _ (f') ^ /г1 - ^"=i oj-' > 0, (7)
а при 0
либо 1 < р < q < оо, либо 1 = р < q = оо, .либо 1 < р = q < оо. (8)
Тогда любая функция и £ ТГдП) имеет обобщённую производную Dau £ Lq( fl) и справедлива оценка
ll^|U