Аппроксимативно компактные множества в банаховых пространствах

• Автор: Пятышев, Илья Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с.

Оглавление
Введение

Глава I. Операции над аппроксимативно компактными множествами

§1. Теоретико-множественные операции

§2. Алгебраические суммы

§3. Прямые суммы

§4. Пересечение и сумма в решетках

Глава II. Связь между аппроксимативной компактностью и другими свойствами множеств

§1. Выпуклое аппроксимативно компактное тело в с0

§2. Выпуклое аппроксимативно компактное тело вс

§3. Связь с антипроксиминальными множествами

§4. Связь с локальной компактностью
§5. Множество точек аппроксимативной компактности имеет тип
§6. Не аппроксимативно компактное множество существования с конечнозначной метрической проекцией
Глава III. Аппроксимативная компактность подпространств банаховых пространств
§1. Подпространства конечной коразмерности
§2. Подпространства в пространстве Ь
§3. Подпространства конечной коразмерности в СА{В)
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена вопросам теории приближений в банаховых пространствах, связанным с понятием аппроксимативной компактности. В ней исследуется сохранение свойства аппроксимативной компактности при различных операциях над множествами; исследуется связь между аппроксимативно компактными и локально компактными множествами; построены примеры аппроксимативно компактных множеств с различными дополнительными свойствами в конкретных банаховых пространствах; получены критерии аппроксимативной компактности подпространств конечной коразмерности в некоторых функциональных пространствах.
Пусть X — линейное нормированное пространство, М — непустое подмножество X, р[х, М) := т£{||ж — у\ : у 6 М} — расстояние от элемента х € X до М, Рм{х) — {у € М : ||х—у\ = р{х, М)} — метрическая проекция элемента х на множество М. Оператор Рм : х —> Рм(х), вообще говоря, неоднозначен и определен не на всем X. В случае, если Рм определен на всем пространстве X, М называется множеством существования, а если Рм однозначен на своей области определения, то М называется множеством единственности. Если М является одновременно множеством существования и множеством единственности, то есть для любого х е X в М существует ровно один элемент наилучшего приближения Рм(х), то М называется чебышевским множеством.
Свойства множества быть множеством существования, единственности или чебышевским множеством относятся к числу основных аппроксимативных свойств.
Основными в теории приближения в нормированных пространствах являются задачи следующих типов:

1) получение геометрических, топологических и аналитических характеристик множеств МСХ, обладающих некоторым заданным аппроксимативным свойством в пространстве X,
2) описание линейных нормированных пространств X, в которых заданный класс множеств М С X обладает заданным аппроксимативным свойством.
Теория приближений в нормированных пространствах берет свое начало в классической работе П.Л.Чебышева [25] (1859), в которой, в частности, доказана чебышевость множества Рп алгебраических многочленов степени не выше п и множества Ртг, рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а, Ъ функций, непрерывных на отрезке [а, Ь]. В этой же работе П.Л.Чебышев описал оператор метрического проектирования на множества Рп и Ятп (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А.Хааром (1918), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я.Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений произошло в конце 50-х и в 60-е годы благодаря работам И.Зингера, В.Кли,
Н.В.Ефимова и С.Б.Стечкина, В.И.Бердышева, Л.П.Власова, А.Л.Гаркави, Е.В.Ошмана, С.Я.Хавинсона, Д.Вульберта, Б.Крипке, Дж.Линденштраусса, П.Морриса, Т.Ривлина, У.Рудина, Р.Фелпса, Р.Холмса, Э.Чини и др. (см. обзорные работы [15], [40], [41], [11], [3], [24]). В дальнейшем существенный вклад в развитие геометрической теории приближений внесли В.С.Балаганский, С.В.Конягин, И.Г.Царьков, Л.Зайичек.
Значительная часть опубликованных работ по геометрической теории приближений группируется вокруг следующей проблемы В.Кли-Н.В.Ефимова-С.Б.Стечкина: доказать (или опровергнуть), что в бес-

||ги — Asgn{wi)ei\.
Пусть wi < 4. Тогда имеем dj = 4 — wj > 4 — = Je*|, |Д|
wi > |Wj1 = |ej|, остальные координаты у элементов совпадают, а следовательно, \w — 4sgn(wj)ej\ > \w — Asgn(wi)ei\.
Для элементов d, f = (Д, Д
Аналогичные рассуждения можно применить для / = w + 4е„, / == ш — 6е„.
Следовательно, го 6 AC(Mi).
Проведя аналогичные рассуждения, получим, что множество АД = ±4ei U {±5еД U {6еД : г = 2,3
Очевидно, что для каждого элемента х = (хх,х2, ) € М — М + М2, найдется к, такое что ДД 1, а следовательно ||ж|| > 1. Для элемента М D Wi — 5ei + (—4)е* : г — 2,3
Множество Mi П М2 = {6еД : г = 2,3
Теорема доказана.