Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях

• Автор: Киндер, Михаил Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 147 c. : ил

Глава I . Внешняя обратная краевая задача в случае

конечносвязных областей

§ I. Разрешимость внешней обратной краевой задачи

§ 2. Общее решение задачи

§ 3. Оценка числа корней уравнения Гахова

§ 4. Три типа решений уравнения Гахова

Глава II . Особые случаи внешних обратных краевых

задач

§ 5. Обратная краевая задача по смешанным параметрам

8 и

§ 6. Исследование разрешимости внешней задачи по смешанным параметрам $ и

§ 7. Симметричные решения обратных краевых задач
§ 8. Индексы корней уравнения Гахова в симметричных
областях
Глава III . Внешняя обратная краевая задача на римановых поверхностях
§ 9. Разрешимость задачи в классе [Ы
§10. Обратная краевая задача на компактных римановых
поверхностях
§11. Исследование уравнения Гахова на римановых поверхностях рода р > О
Литература

В диссертации рассмотрены внешние обратные краеше задачи теории аналитических функций для многосвязных областей и рима-новых поверхностей.
Теория обратных краевых задач (окз), основы которой были заложены в трудах Г.Г.Тумашева и М.Т.Нужина [42], имеет многочисленные приложения во многих задачах механики сплсшных сред и математической физики. Развитие этой теории, ее современные достижения и применения отражены в монографиях [42 , 36 , 40], а также в обзорной статье [п].
Основные внутренняя и внешняя окз по дуговому параметру $ заключаются в отыскании аналитической функции w(I) и односвязной области ее определения с границей по известным
граничным значениям w №)1, = w(s) s U(s)+iü’(s),0«s^6 » ИСКОМОЙ функции, где s - дуговая абсцисса кривой $.ъ, 0 - длина . При постановке внешней окз предполагается, что искомая область 5DZ содержит одну бесконечно удаленную точку и значение w(oo)=w0 не задано.
Вопросы разрешимости сформулированных окз были исследованы М.Т.Нужиным [34] и Ф.Д.Паховым [20]. Кратко опишем этапы решения внешней окз.
Первый этап состоит в нахождении аналитической функции с логарифмической особенностью в точке w0 по известным граничным значениям ее вещественной части. Здесь Z'(w)- производная функции !(W), обратной к искомой W(Z). Если перейти от cDw к некоторой вспомогательной канонической области «Dç , например, к кругу |Ç| <1 , то для определения неизвестной величины Ç0 , соответствующей точке W0 , служит уравнение

= 2С/0-СС),
(0.1)
полученное Ф.Д.Гаховым [19, 20].
Второй этап решения внешней окз заключается в доказательстве разрешимости уравнения (0.1). В работе [20] Ф.Д.Гахов преобразовал (0.1) к соотношению
из которого следует, что корень урашения (0.1) является стационарной точкой вещественной поверхности Л с уравнением
которая отображает круг |С| < 1 на искомую область г . В известной области (0% легко оцределяется искомая функция п(г), поэтому под решением задачи часто понимают задачу нахождения функции 2(С), или 2(у0 , обратной к Ж (2).
Внутренняя обратная краевая задача для аналитических функций в случае многосвязных областей была исследована Ф.Д.Гаховым [18] и М.Т.Букиным [ЗЗ]. В своих работах они отметили существенное отличие такой задачи от окз в односвязном случае. Основная сложность здесь заключается в том, что искомая функция 2(у/) может оказаться неоднозначной. Исследование осложняется еще из-за того, что уже на первом этапе решения задачи начальные данные не могут гарантировать однозначность аналитической функции Чтобы задача отыскания этой функции стала корректной, в ее постановку добавляются произвольные элементы. Этот путь, предложенный Л.Н.Журбенко [26], приводит к так называемой видоизмененной обратной краевой задаче, которая в случае внешней окз формулируется следующим образом.
Требуется найти регулярную функцию У/(2) и (п+1) - связную
. С помощью корня С„ находится функция *(С),

зну , равную нулю, т.е. имеет там точку распрямления. В простейшем случае это будет точка перегиба, и тогда поверхность имеет в ее окрестности ”полуседлообразное,,строение (рис. За)
Однако точка спрямления может оказаться и точкой выпуклости или вогнутости. В этих случаях поверхность может иметь различное и довольно сложное строение.
2°. Для того чтобы описать поведение поверхности вблизи параболической точки , мы выясним, как ведут себя линии уровня
функции П = О. (уу) В окрестности УУ(,
Обозначим через X^ ЧИСЛО ветвей ЛИНИИ уровня .С2(УУ) = £2(у^ сходящихся в точке УУ; . В силу изолированности особых точек существует достаточно малая окрестность уу^ , в которой Как доказано в [25, с. 76] (см. также [15, с. 223]) , при этих предположениях число всегда конечно и четно. Величина
= *1^/1 называется порядком седлообразности в точке УУ{, . Порядок седлообразности точно характеризует строение поверхности & в окрестности данной точки.
Так, точке, в которой поверхность выпукла, соответствует порядок седлообразности, равный нулю (рис. I б) . Если линия пере-

Отметим, что поверхность О не может иметь "полуседлообразного" строения, указанного на рис. 3 в), где кривизна одного из главных сечений >