Вопросы динамики символических систем на решетках

• Автор: Шаповалов, Сергей Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с. : ил.

Содерж ание
1 Введение
2 Инвариант глубины для символических каскадов
3 Глубина дентра. Новое решение задачи Виркгофа для систем со счетным фазовым пространством
4 Новое решение задачи Виркгофа для потоков и полупо-токов
5 Связь и различия глубины и глубины дентра. Препятствия к полной классификации
6 Инвариант глубины для действий конечнопорожденных абелевых групп на счетных фазовых пространствах
7 Глубина счетных подмножеств топологических марковских цепей
8 Двумерная топологическая марковская цепь, являющаяся аналогом модели ферромагнетика Изинга
9 Улучшенная оценка отвечающего фазовому переходу числа состояний в модели Бертона-Стейфа
10 Список литературы

X Введение
Настоящая работа посвящена рассмотрению вопросов, тесно связанных с проблемой топологической классификации символических динамических систем на решетках. Изучаются одномерные и многомерные топологические марковские цепи (ТМЦ) и их свойства. Для этого используются следующие две основные методики.
Во-первых, исследуются счетные замкнутые инвариантные относительно заданного действия подмножества исследуемой системы. На этом пути удается получить некоторую информацию как о самих этих подмножествах, так и об исходной системе. Кроме того, исследование абстрактных счетных замкнутых трансляционно инвариантных подмножеств пространств бесконечных односторонних или двусторонних последовательностей оказывается полезным и при рассмотрении динамических систем несимволического происхождения — например, диффеоморфизмов многообразия, имеющих гиперболическую структуру. Как пишет Д. В. Аносов в своей работе [1], топологический бернуллиевский каскад всегда реализовывается как гиперболическое множество некоторого гладкого каскада (один из возможных способов такой реализации — надстройка над подковой Смейла). Таким образом, счетные замкнутые инвариантные символические системы дают пример динамических систем, которые, с одной стороны, сравнительно, легко поддаются изучению, а с другой стороны, при изучении которых вскрываются многие общие свойства динамических систем с гиперболической структурой.
Здесь и далее под счетными символическими системами мы понимаем ограничения заданного действия на счетные подмножества пространства последовательностей (в многомерном случае — конфигураций), составленных из символов некоторого фиксированного алфавита. Напомним, что при рассмотрении ограничения действия Т на множество М последнее называют фазовым пространством динамической системы (М,Т). Таким образом, счетные символические системы — это символические динамические системы со счетным фазовым пространством.
Во-вторых, для рассматриваемых ТМЦ изучаются меры максимальной энтропии. В одномерном случае, как хорошо известно ([22], [23]), ТМЦ всегда имеет единственную меру максимальной энтропии, называемую в этом случае мерой Пэрри. В многомерном случае это оказывается, вообще говоря, неверным. В частности, имеются примеры неприво-

димых многомерных ТМЦ, имеющих ровно две меры максимальной энтропии. Неединственность меры максимальной энтропии дает довольно много информации о поведении системы уже хотя бы в силу того, что с физической точки зрения она означает наличие в системе фазового перехода.
В соответствии с приведенной выше схемой, материал настоящей работы можно условно разбить на две части. В §2-7 рассматриваются символические динамические системы со счетными фазовыми пространствами, а также системы, получаемые надстройкой над таковыми. В §8 и 9 изучаются многомерные топологические марковские цепи.
Нужно сразу оговориться, что проблема полной классификации счетных символических систем относительно топологической сопряженности остается нерешенной. Однако некоторых результатов здесь удается добиться при помощи рассмотрения двух инвариантов коммутативных групповых действий на счетных замкнутых инвариантных фазовых пространствах. Первый из них называется глубиной такого действия, второй — его глубиной центра. (Во избежание недоразумений скажем сразу, что схожие по звучанию термины “глубина” и “глубина центра” — совсем разные понятия. Если С — центр некоторой счетной символической системы, то глубина С и глубина центра исходной системы, вообще говоря, никак не связаны между собой. Словосочетание “глубина центра” следует воспринимать как единый термин.)
Оба инварианта принимают значения в множестве не более чем счетных ординальных чисел (или, согласно устаревшей терминологии, в множестве порядковых чисел не выше трансфинитных чисел второго класса). Для каждого из них исследуется множество возможных значений. Оказывается, что для произвольного не более чем счетного ординального числа а найдется счетная замкнутая трансляционно инвариантная символическая система, глубина центра которой равна а. В то же время не существует счетных замкнутых инвариантных систем, глубина которых была бы предельным трансфинитным числом (т.е. порядковым числом, не имеющим непосредственного предшественника); все остальные счетные ординальные числа реализовываются как глубины некоторых систем рассматриваемого вида. Соответствующие утверждения доказываются в §2 — для глубин на пространствах последовательностей, в §3 — для глубины центра и в §6 — для глубины в общем случае коммутативных групповых действий на счетных фазовых про-

Доказательство. 1) Допустим, что при некоторых т и п, не равных друг другу, системы (Мт,Т) и (Мп,Т) сопряжены, т.е. существует гомеоморфизм h : Mm -» Мп, коммутирующий со сдвигом: h,T = Th. Тогда fo(0) =0, т.к. 0 — единственная неподвижная точка и в Мт, и в М„.
Назовем t е Z моментом входа орбиты некоторой точки х в множество А, если Т1 хе А и Т*-1 х£ А. Заметим, что как в Мт, так и в Мп точка хх (и только она одна!) обладает тем свойством, что для любой нетривиальной окрестности U точки 0 орбита указанной точки имеет один и лишь один момент входа в U. Это свойство является топологически инвариантным, поэтому h(xi) =хх.
Рассмотрим числа
N(M) = inf sup # (и п OrbT(x)) ,
НЭxi x£Mt xjtxi
где М — Мт или М = Мп, а нижняя грань берется по всем непустым окрестностям точки Xi. Сопряженность (Мт,Т) и (МП,Т) влечет равенство N(Mm) = N(M„). Однако для каждой окрестности U Ф 0 точки хх найдутся достаточно большие числа к и I такие, что
# (и n Orbr(x2 (fe; то))) = то,
# (U n OrbT(x2 = п.
Сопоставляя это с очевидными неравенствами N(Mm) < т, N(Mn) < п, получаем: N(Mm) = т п = N(Mn). Пришли к противоречию.
2), 3) 0 — предельная точка в Мп, т.к. при больших t точки Ть хх сколь угодно хорошо аппроксимируют 0. Далее, хх (и все ее образы под действием степеней Т) — предельные точки в Мп, т.к. они аппроксимируются точками вида х2 {кп) при больших к. Сами последовательности х2 (к;п) являются изолированными точками, т.к. на любом отрезке длины к их записи имеется неизбежное отличие от любой другой последовательности из Мп.
Таким образом,
м; = <о,*!); м: = {0>; ЛС = 0.
Предложение доказано.