Асимптотика коэффициентов Тейлора рациональных функций многих переменных

• Автор: Лейнартас, Денис Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 65 с. : ил.

Введение

Обозначения и предварительные сведения

Глава I. Асимптотика коэффициентов Тейлора рациональных функций с изолированными ближайшими особыми точками

§1. Минимальные и ближайшие особые точки, их классификация

§2. Геометрия ближайших особых точек и их связь с амебой полярной гиперповерхности

§3. Общая оценка коэффициентов Тейлора рациональных функций.

§4. Уточненная оценка в двумерном случае.

§5. Об устойчивости двумерных цифровых рекурсивных фильтров.

Глава II. Асимптотика коэффициентов Тейлора одного вида рациональных функций с неизолированными ближайшими особыми точками
§1. Рациональные функции с ” гиперболическими” полюсами и комбинаторная интерпретация их коэффициентов Тейлора.

§2. Формулировка результата. Понятие сдвинутой (р, з) — диагонали.

§3. Доказательство теоремы.
Глава III. Интегральное представление для решения многомерных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

§1. Постановка задачи. Сведения об одномерных разностных уравнениях.
§2. Задача Коши для многомерных разностных уравнений. §3. Интегральная формула для решения задачи Коши.
§4. Некоторые примеры.

Введение
Асимптотические методы являются одним из наиболее важных инструментов исследования в математическом анализе и других областях математики уже более века. Во многих задачах естествознания, для решения которых используются математические методы, возникают интегралы и ряды, зависящие от большого параметра, вычислить которые в явном виде удается очень редко. Именно поэтому асимптотические методы играют решающую роль. С их помощью были найдены решения многих дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными, исследован обширный класс физических процессов. Подавляющее большинство последовательностей
а(к) = а(к1,... ,кп),
асимптотику которых удается изучить, допускают интегральное представление. Поэтому методы асимптотической теории тесно связаны с теорией особенностей дифференцируемых отображений [3], теорией монодромии (см. [3, 29]) и алгебраической геометрией (см. [8, 32, 33]), теорией когомологий [8] и вычетов (см. [1, 14, 12, 34]).
В проблематике асимптотического исследования можно выделить две качественно различные ситуации:
1) ситуация, касающаяся достаточно хорошо изученной однопараметрической зависимости а(к) (методы Лапласа [31], стационарной фазы [30], перевала [31]); отметим, что кратные осциллирующие интегралы, даже с одним параметром, далеко не полно исследованы в случае неизолированных критических точек фазы;

бой точки zq обозначим через г максимальный порядок нуля функции Q(zqt) = Q(zqit, ..., ZQnr) одного переменного т.
Теорема 2. Если для р Е К диагональные коэффициенты а(кр) неотрицательные, то а(кр) = (г$)~ка(к), где zq -какая-либо из ближайших особых точек, а
|а(&)| < Const ■ kr~l.
Доказательство. Выберем произвольную ближайшую особую точку Zq и сделаем замену переменных Z = ZqW, как и в доказательстве Теоремы 1. Сгруппируем члены полученного ряда по однородным степеням |ог | = т:

F(w) = d{a)iua — У][ а(а)гиа].
|а|>0 т=О |а|=т
Сужение F(w) на прямую z = (т,... ,т) имеет вид:

*Т> = £i Е«(«)]’-” := /м-
т—О |а|—т
Полученная функция /(г) одного переменного рациональна со знаменателем Q(zqt), ее ближайшие особые точки лежат на единичной окружности. Как было показано в [51], в условиях нашей теоремы о неотрицательности коэффициентов это означает, что точка т = 1 является полюсом наибольшего порядка для /(г) среди всех ближайших полюсов. Поэтому (см. [11], с. 54) для коэффициентов Тейлора функции /(г) справедлива оценка:
а (а) < Cmr^
|or|=m