Спектральные свойства евклидовых многообразий и SU(2)-представления фундаментальных групп

• Автор: Исангулов, Руслан Рамильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 146 с. : ил.

1 Спектральные свойства плоских трехмерных многообразий
1.1 Плоские компактные 3-многообразия
1.2 Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на ри-мановых многообразиях
1.3 Функции следа плоских компактных 3-многообразий
1.4 Изоспектральность плоских компактных 3-многообразий
1.5 Пример изоспектральных, но неизометричных плоских компактных 3-многообразий
1.6 Полный список функций следа плоских компактных 3-многообразий
2 Спектральные свойства плоских двумерных орбифолдов
2.1 Плоские компактные 2-орбифолды
2.1.1 Основные определения и обозначения
2.1.2 Классификация компактных 2-орбифолдов
2.2 Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на ри-мановых орбифолдах
2.3 Функции следа плоских компактных 2-орбифолдов
2.4 Изоспектральность плоских компактных 2-орбифолдов

2.5 Полный список функций следа плоских компактных 2-орби-
* фолдов
3 Конические многообразия на твист узлах и зацеплениях
3.1 Основные определения обозначения
3.2 5/У(2)-представления двухмостовых узлов и зацеплений
3.3 5£/(2)-представления твист узлов
3.4 Теорема Хоста — Шанахана
3.5 Би(2)-предетавления твист зацеплений
3.6 Примеры
Литература

Данная работа связана со спектром оператора Лапласа — Бельтрами (или, для краткости, лапласиана) Д = —div grad на компактном римано-вом многообразии и орбифолде без края. Будем говорить, что два многообразия М и М' (орбифолда V и V') изоспектралъпы, если спектры лапласианов на многообразиях М и М' (орбифолдах V и V') совпадают.
Один из самых ранних результатов по спектральной теории оператора Лапласа — Бельтрами, который устанавливает взаимосвязь между собственными значениями лапласиана и геометрическими свойствами соответствующих областей, является асимптотический закон Г. Вейля [54, 55, 56] 1911 г.:
А/2(М) ~ k—rvj-pr-к 4 ' vol(M)
Здесь Àfc(M) — к-ое собственное значение лапласиана на компактной области М С Ет с граничными условиями Дирихле; ст — константа, зависящая только от размерности т, а ~ обозначает асимптотическое равенство при к —> оо. Основанием современной спектральной теории многообразий можно считать работы 1949 г. С. Минакшисундарама, Э. Плейжеля [44] и Г. Мааса [37]. В работе [44] приведено доказательство спектральной теоремы (теорема 1.5) в случае любого компактного риманова многообразия. В 1959 г. X. Хубер [32] ввел новое геометрическое понятие спектр длин — последовательность длин замкнутых геодезических, записанных в возрасопять ищем тах — наибольшее положительное значение А такое, что Fi(A) < оо.
Если Fi(max) = 0, то заметим, что Хтпах = £/2. Здесь мы воспользовались тем, что в первом случае 4 = min{4,4}, во втором £2 = min{4,4}. Теперь опять рассмотрим предел
Ищем Хтах — наибольшее положительное значение А такое, что F(А) < оо. Заметим, что Хтах — тт{4/2, 4/2}. Поскольку мы знаем значение 4,
Таким образом, в случае (іі) функция следа Ьг(Н]у3) определяет все параметры фундаментального множества многообразия N3. Лемма 1.3 в случае многообразия N3 доказана.
1.4.10. Многообразие N4. Предполагаем, что фундаментальное множество многообразия N4 натянуто на линейно независимые векторы 4/2, £2/2 и £3 (см. рис. 1.11). Из теоремы 1.2 в случае N4 следует, что 4, £2 и £3 попарно ортогональны. Пусть 4 — (4)0,0), £2 = (0,4>0) и £3 = (0,0, £3) в стандартном ортонормированием базисе е, е2, Є3. Заметим, что классы изометрий N4 параметризованы с помощью уоі(А^), 4> £2 или £3 (теорема 1.3).
Тогда
F(А) = Дт (^^ (2е^-^м 4- + 2е<л*-®'« + ■. •)
если Хтах = £1/2, ТО £3 — если Хтах Ф 4/2, ТО А,
kmax
4/2.