Об универсальных элементах в топологических пространствах

• Автор: Дуйос Руис, Сара Мария
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 c. : ил

3 В Е Д Е Н И Е

ГЛАВА Г
ГЛАВА II
ПОПОЛНЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Различные авторы изучали и изучают в настоящее время функции, которые в том или ином смысле являются универсальными.
В 1929 г. Дж.Д.Биркхоф (в*!) доказал существование такой целой функции (ц.ф.) Р(-г) , что множество|р(г-**}, всюду
плотно (в.п.) в А«, , где А«, - цространство ц.ф. с топологией равномерной сходимости на каждом компакте 1с сс. Такие функции мы будем называть Тг - универсальными. 1] - универсальные функции также изучаются в работе (1984) Ш.Блейра и Л.Рубеля. В 1941 г.
В.Сайдел и Дж.Л.Уолш (Ць^) рассмотрели аналогичное понятие универсальности для функций, аналитических в ограниченных односвязных областях. Аналог теоремы Дж.Д.Биркхофа для гармонических функций в п. - мерном евклидовом пространстве был получен О.П.Дзагнидзе в 1969 г. (ЕзАЗ).
Результат С.М.Воронина ([зП(1975)) о свойстве универсальности дзета-функции Римана, , дал некоторый новый толчок изучению универсальных функций. Свойство универсальности ^(г) состоит в том, что для любой функции $СгА<= А(13<г) гС(лз1£г) о<.г <'/Ч, такой, что , з <г , существует такая последовательность ов е ({1 , что I зи + ‘•"0
1 12.164*
к ->со . Свойству универсальности *54*) и близким к нему вопросам посвящена обширная литература, среди которой отметим .
Впоследствии В.И.Гаврилов и А.Н.Канатников ([зг! (1982)) привели пример функции, множество сдвигов которой в.п. в А(1гЛ<г), о<У4У* •
хФусть ф- область в <£ . Через АС<я)(мС<гО), как обычно, обозначается пространство аналитических (мероморфных) функций в $

Другое направление в изучении универсальных функций состоит в следующем. Пусть <5 - область в с , К. - компакт, К с и 1 -
Множеству Хм(с,3) ( ) цринадлежат все функции £Сг>еМ(<*)
( ACGi) ) такие, что для любой рациональной функции (многочлена) ■^(г) существуют такие последовательности Г-16 (Хл., €: , П в INI , ЧТО CXinK * •&*. С G| } Vt £ W j
Svi^ ^ C*t, ° , w-*e» И s^> y. (5Ca*iZ+ -*o,
к-»», где ^ - хордальная метрика на сфере Римана. Функции из
X (ЮЛ^ изучаются в работах ГАЗЗ _15оЗ В.Люха. В Сзь! - 1з*3 А J
А.Н.Канатников рассматривает, в частности, функции из Iи • Все упомянутые выше понятия универсальности были связаны с некоторым преобразованием переменной универсальной функции.
В 1952 г. Дне.Мак Лейн (tsü) доказал, что существует такая
СнЗ ч
ц.ф. Gi (г-) , что множество^ в.п. в А» . Эти функции называются Ф - универсальными. В этой работе тоже изучается вопрос о скорости роста Ф- универсальных функций. Напомним, что через С?,«*! (fe.O ) обозначается класс ц.ф., у которых порцдок роста меньше J , или равен § , но в этом случае тип не больше (меньше) о*. BCSQ показано, что в классе[1,1) нет Ф - универсальных функций, но уже в классе [ДД] они существуют. Работы 14?! и 1л$1 Ш.БлеЙра и Л.Рубеля (1984) являются продолжением изучения универсальных функций в Аа. В L4B-] авторы также рассматривают следующее понятие универсальности. Пусть , Cw ^ С , »v-ъ о .Ц.ф. 5-Сг)
в А». Авторы показали, что существует такая последовательность С. , что ‘и.ще-Ао,. В этой же работе доказано, что найдется ц.ф.,
являющаяся одновременно , © и 1^- универсальной. В конце золучен результат отрицательного характера. Для любой ц.ф.

Тогда
* 53
1 Ъ. С*) - £ -V- I -* “ 9 *
— ,14 & <«> - |^”*']тт7 ^ | -*° >5
Ы = <Г» + е 1-К1--П,£/г
Значит, для достаточно больших б , в силу (2.15 ) и (2.16) мы получим, что
^ О ^ I А.
т-а/* 1 Т ^иг-/Ау' + « — О!/- С'Ь) 1 < Ул.
° 1 (*•'»)

Игах
Ііи^ , £ ‘ " 4 £ ,
1-кЬ<гв1.£/а
А <
(2-ІЙ)
Положим ^-5 (*£) = . Функция І5С'С> принадлежит

АеС*1 > О . Из (2Л^ ) следует, что Ї^СЮ е й- С 'Чт 1*0 ? е , /* ) , и из (2.»в ) вытекает, что
Ну (^П*) ^ V- С Є С, р
Этим доказано, что множество 'и^ непусто и, более того,
является вычетом вЬ^о! . Теорема доказана. □

Следствие. Пусть ^(4.) г X о«./і.п + ' є А0С|^^И^ о<гВ.<-в°

ф. ООП5-1 {і*. С : )С(«)в»|| и <У0 = іи£ )-Ь
1,0 существуют “ универсальные функции.
Более того, Ру - универсальные функции образуют вычет в
б) Если ^ о и1с(-Ы<| цри , то в классе Сі,<0
нет Ру - универсальных функций.
Доказательство. Утверждение а) следует из леммы 2.2 и из того, что ч. - вычет в [п^о!
б) При доказательстве теоремы 2.2 мы показали, что для любой функции $(г)с 1л.,сО в случае,когда б^хэ и | с(о| <
при №<5*0 , мы имеем, что