О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях

• Автор: Светлов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 90 с. : ил.

1 Эллиптические операторы на искривленных произведениях

1.1 Предварительные сведения

1.2 Дискретность спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на искривленных римановых произведениях

2 Эллиптические операторы на квазимодельных многообразиях

Р 2.1 Оператор Лапласа — Бельтрами на простых искривленных

произведениях порядка к

2.2 Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на квазимодельных многообразиях. Примеры

2.3 Спектр оператора Лапласа — Бельтрами на весовых квазимодельных многообразиях

^ 2.4 Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера

2.5 Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики

Литература

Настоящая работа посвящена нахождению условий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами
- А = -сНуУ (1)
и ассоциированного с ним оператора Шрёдингера
Ь = -сИуУ + с (2)
на многообразиях специального вида.
Спектральный анализ операторов очень важен для математической физики. Более того, многие задачи этого раздела теории операторов обязаны своим возникновением квантовой механике, где, например, гамильтониан — это неограниченный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Точечный спектр гамильтониана соответствует уровням энергии связанных состояний системы. Непрерывный спектр играет важную роль в теории рассеяния в системе.
В К" задача о зависимости спектра эллиптического оператора от его коэффициентов была достаточно хорошо изучена многими авторами — многообразие имеющихся результатов вполне отражают известные монографии М.А. Наймарка [27] и И.М. Глазмана [9]. Среди этих результатов отметим здесь только лишь критерии дискретности спектра оператора Штурма — Лиувилля в К1, принадлежащие
А.М. Молчанову [25], И.С. Кацу и М.Г. Крейну [16] — эти критерии мы используем при изучении спектров упомянутых операторов
на многообразиях и их точные формулировки будут приведены ниже.
Что касается римановых многообразий, то первые исследования в этой области появились в 60-х годах XX века. В них изучались операторы на компактных многообразиях. Результатом исследований стала достаточно полная информация о структуре спектра оператора Лапласа — Бельтрами, что нашло выражение в известной монографии М. Берже, П. Годюшона и Е. Мазе [3]. В частности, хорошо известно, что спектр лапласиана на компактном римановом многообразии непременно дискретен, первое собственное число равно нулю и оно всегда имеет единичную кратность.
Первые исследования спектра эллиптических операторов на некомпактных многообразиях относятся к 70-м годам. Перечислим здесь некоторые результаты.
• Х.П. МакКин [23], С.Т. Яу [49] получили нижнюю оценку инфи-мума спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях отрицательной гауссовой кривизны. В случае кривизны, ограниченной снизу некоторым неположительным числом, верхнюю оценку точной нижней грани спектра получил С.Я. Ченг [45].
• М. Пински [28] указал двусторонние оценки инфимума спектра оператора Лапласа — Бельтрами и инфимума непрерывной части спектра в терминах метрики для двумерных поверхностей неположительной гауссовой кривизны. Для произвольных многообразий отрицательной кривизны его результаты обобщили X. Доннелли и П. Ли [12].
• В. Мюллер [26] исследовал структуру спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с концами. Заметим, что многообразия, рассмотренные им, являются частным случаем квази-модельных многообразий, рассматриваемых в нашей работе.

следовательно,
V(D) = оо. (2.6)

Во втором из условий (2.2) делаем замену переменной v = J s-1(£)clt:

V ОО Г
lim(L — -v) [ йгп [ s~1(t)dt [ s(t)dt
v^L J r^ccj J
0 r
oo r
=A” / WW) dt-iT(t) I q"'(t)' = Л = °- <2-7>

Теперь в дополнительном условии к группе (2.2) возвращаемся к коэффициентам метрики:
ОО ОО
L-js-t)dt = j* <00

и, значит,

< оо,
«ГЧО •••<£*(«)

снова применяя формулу (1.12’), получаем
(cap f?(l))-1 < оо,
следовательно,
cap В(1) > 0. (2.8)
Покажем далее, что в каждой из полученных групп условий — (2.3)+(2.4) + (2.5) и (2.6) + (2.7) + (2.8) — одно из требований является лишним. Для этого рассмотрим некоторую произвольную функцию С(t) и заметим, что из интегралов
ОО ОО
Jem и /А
і і
сходиться может только один. Предположим противное
00 оо
J С(t)dt < оо, J Л- < оо. (2.9)