Целые функции типа синуса. Применение к исследованию систем экспонент в весовых гильбертовых пространствах

• Автор: Путинцева, Анастасия Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 114 с.

Оглавление
Введение
1 Целые функции типа синуса
1.1 Геометрические характеристики субгармонических и
выпуклых функций
1.2 Конструкция целых функций типа синуса
1.3 Оценки целых функций типа синуса
1.4 Точность оценок целых функций типа синуса
2 Системы экспонент в весовых пространствах
2.1 Полнота и минимальность систем экспонент в пространстве 1/2(/,
2.2 Безусловная базисность систем экспонент в пространстве
2.3 Безусловная базисность в неклассических случаях
2.4 Суммирование рядов из экспонент
Библиография

Введение
Диссертация посвящена исследованию систем экспонент в пространствах 1/2(Р, Л,), состоящих из функций, определенных и локально интегрируемых на интервале /, для которых конечна норма
Весовая функция К предполагается выпуклой на интервале I.
Рассматриваются такие свойства систем экспонент как полнота, минимальность, безусловная базисность и способы суммирования рядов по этим системам. В проведенных исследованиях по сложившейся традиции систематически используются целые функции с заданным асимптотическим поведением, в данной диссертации — целые функции типа синуса.
В первой главе рассматривается вопрос о конструкции целых функций типа синуса, доказываются соответствующие оценки и исследуется точность полученных оценок.
В теории функций комплексного переменного важную роль играют субгармонические функции. Систематическое изучение субгармонических функций началось с основополагающих работ Ф. Рисса, в которых доказан ряд свойств субгармонических функций и приведены важные примеры таких функций. В частности, субгармоническими в области РСС являются функции вида 1п/^), где / — аналитическая функция в области И.

Введение

К вопросу о том, насколько произвольная субгармоническая функция может отличаться от функций вида 1п |/|, в сущности сводятся многие задачи комплексного анализа ([1], [4], [9], [12], [25]—[28], [46],
Первые теоремы о приближении субгармонических функций и функциями вида 1п |/|, где / — аналитическая функция, носят асимптотический характер. Например, теорема Полна (см. [58]) утверждает существование целой функции с заданным индикатором, то есть любая однородная субгармоническая функция на плоскости асимптотически приближается логарифмом модуля целой функции. Обобщением этого результата Полна служит теорема Левина-Пфлюгера (см. [24], [59]) о том, что для любой р — однородной субгармонической функции и, то есть и{Ьх) — Си(г), < > 0,г Е С, существует целая функция /, которая вне множества Е удовлетворяет соотношению
При этом исключительное множество Е может быть покрыто кругами {г : г — < г/} так, что
Множества, допускающие покрытия кругами с таким свойством, называются Со - множествами. В 1969 году B.C. Азарин обобщил теорему Левина-Пфлюгера, заменив условие р - однородности на условие
[52], [54] -[56]).
|u(z) - Inf(z)\ = o{zP), z —^ oo, z E.

u(z) < ConstIгl^, z > 1. (см. [1], [3]). В то же время для функций вида
1.2. Конструкция целых функций типа синуса
Это уравнение не имеет решения в том случае, когда функция и в +оо имеет асимптоту, то есть для некоторой линейной функции кх + с верно
lim (и(х) — (кх + с)) = 0.
X—у+оо
В этом случае точку Ь будем считать последней справа точкой излома функции v и для х > bi положим v(x) = к(х — Ь±) + u(b{). Снова из соотношения (1.5) получим
и(х) < v{x) < и{х) + 1, х > Ъ.
Если уравнение х + р(и. х) = &о имеет решение, то обозначим его через bZ_i и положим
Ь-1 = Ь*_г - р(и, 6* х), v(x) = 1и{Ь*_г, х), х Є [6-і; Ь0].
Если решения нет, то точка Ъо будет последней слева точкой излома функции v, причем для х < Ьо положим н(ж) = к(х — Ьц) +и{ро), где к = lim и'{х). Продолжая эту процедуру в меру необходимости
х—>—оо
мы построим функцию v(x), для которой пункты 1 и 2 будут выполнены очевидным образом.
Докажем третье свойство. По построению имеем
v(x) = ln(х) = /„(&*, ж), X Є [bn-,bn+1],
следовательно, в промежутке [bn; bn+1] имеет место соотношение ln-i{x) < и(х). Поскольку bn+1 - bn = 2p{u,b*n) и ln(bn) = ln-i(bn),

ln(bn+1) - ln-i(bn+1) - 2(ln{b*n) - Іп-іЮ) > ЩпЮ ~
д (nipn+1) ln—l(^ra+l) ^
bn+l bn
2p(u,b*)'