Аппроксимационные свойства гармонических дифференциальных форм в евклидовом пространстве и на римановых многообразиях

• Автор: Малинникова, Евгения Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 84 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
§1. Предварительные сведения и основные определения
§2. Изоморфизм некоторых пространств гомологий и> когомологий . '
на римановом многообразии
§3. Конструктивное доказательство теоремы Рунге
§4. Конструктивное доказательство теоремы Гартогса - Розенталя
§5. Теорема Рунге для гармонических дифференциальных форм на римановом многообразии
§6. Теорема Гартогса - Розенталя для гармонических дифференциальных форм на римановом многообразии
§7. Теорема о трех сферах для гармонических форм в евклидовом пространстве
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
0.1. Диссертация посвящена изучению аппроксимационных свойств гармонических дифференциальных форм в евклидовом пространстве и на вещественном римановом многообразии. Дифференциальная форма ш класса С°° называется гармонической, если она замкнута и козамк-нута, т.е.
а1и> = 0, 5ш = 0. (0-1)
Через (I мы обозначаем оператор внешнего дифференцирования, а через 5 оператор-кодифференцирования; <5 - формально сопряженный с Д опора гор в пространстве квадратично суммируемых форм. Теория гармонических дифференциальных форм на римановых многообразиях, созданная Ходжем, Г.Вейлем, Кодаирой и Де Рамом к середине 20-го века ' (см.[Но,¥,К,Р]), играет заметную роль в теории гладких многообразий, алгебраической топологии, задачах математической физики и т.д.
0.2, Мы подходим к исследованию гармонических дифференциальных форм следующим образом. Пусть ш - 1-форма, заданная в открытом подмножестве X пространства II", со = Дсйс1 + ...ДДж". Тогда для формы со система (0.1) принимает вид:
<9Д (>,П <9/1 <9/„
—- = —, 1<к<1<п, — + = 0. (0.2)
0X1 ОХк ОХ охп
-При п = 2 гармоничность дифференциальной формы со равносильна аналитичности функции Д — г/г в открытом множестве X С К2 = С. В общем случае система (0.2) известна как обобщенная система Коши-Римана; некоторые свойства ее решений изучались, например, в [СДР]. Локально решение (Д
В работах [КЬР,ПХ] изучались вопросы приближения 1 армойчЙс&й-ми формами (произвольной степени) в евклидовом пространстве, которые рассматривались как обобщения аналитических функций одного комплексного переменного. Считается, что в евклидовом пространстве

задана ориентация, но не фиксирован базис. После выбора согласованного с ориентацией базиса пространство Е отождествляется с пространством ЦЛ В первой части данной диссертации приведены конструктивные доказательства результатов работы [ПХ']. В 0.3-0.5 мы введем необходимые обозначения и сформулируем доказанные в [ПХ] теоремы. 0.3. Первый результат, на котором мы остановимся, - аналог классической теоремы Рунге о приближении аналитических функций рациональными. Здесь речь идет о приближении дифференциальных форм степени г, 1 < г < п — 1, гармонических в окрестности компактного подмножества п-мерного евклидова пространства Е (п > 3). Роль рациональных функций играют определяемые ниже формы Био-Савара и Кулона.
Для определения форм Био-Савара и Кулона необходимо ввести некоторые понятия. В диссертации, как и в работе [ПХ] используется терминология книги Де Рама [Р]. Потоком называется непрерывный линейный функционал на пространстве форм класса Сц0 (пробных форм). В частности, любой форме ф степени г с коэффициентами из Ьос соответствует поток, действующий на пробные формы степени ть ~ г и обозначаемый Тф,
Тф[ср = 1вф/<р. (0.3)
Пусть ф - форма класса Сд°. Ньютоновским потенциалом формы ф называется форма
Ыф(х) — —с1тСу) (0.4)
; сп-)Ех-уъ-1 ш >
(где с„ = (п — 2)'Нп~1(Зп ), Т-С11 - п — 1-мерная мера Хаусдорфа,
5“-1 - единичная сфера в К,", а т - п-мерная мера Лебега). Форма
Ыф также имеет коэффициенты класса С°°, но уже, вобще говоря, не компактный носитель. Определение ньютоновского потенциала, так же как и операторов с1 и 5, естественным образом переносится на потоки. Пусть Г - поток с компактным носителем, тогда ЫТ - поток, действующий на пробные формы по правилу:
ЫТ[ф] = Т[Щ. (0.5)
Каждому конечному г-мерному циклу у соответствует поток с компактным носителем. Он определен на пробных формах степени г ра-

шо = £ Л d(hsua) Л dxa. (3.6)
s=l a£Mq-i
В качестве fSia можно взять отображения с координатными функциями Л = hsua, fi+i = hsxan 1 < i < q — 1, где hs £ C“ и hs = 1 в окрестности supp/i„. Формула (3.6) запишется в виде

= Е ч>у

Отметим, что при этом поверхности уровня отображения гомоло-гйчнЫ ВуШо ß О,, liyc I ь с некритическое значение ‘с ="{ci,, 'cq). Тогда 1{с) является границей множества
G(c) := {х ebD : /г(ж) > ch fi+i{x) = ci+i}, если сг > 0, или G(c) := {х ebD : fx) < сг, fi+1(x) = ci+1}, если Ci < 0.
Выбрав нужным образом ориентацию многообразия G(c), получим, что l(c) = dG(c) в смысле потоков. Ясно, что G(c) С 03.
Формулу (3.3) для формы ifij на многообразии bD можно переписать следующим образом:
ЪОЛ = 1юЫс)<1н*(с)-
Это равенство (га — q — 1)-мерных потоков с компактными носителями в Е D. Следовательно, имеет место равенство форм
U(bD Л = jhHlj[c)){x)d'Hq[c), х е D, и
U(bD Ai*i))(i) = Е L„U{l}{c)){x)dU'l{c)i х е D.

Применяя кодифференциал к обеим частям равенства получим:
SU(bD А ш„)(х) = Е / BS‘Cx)dnq{c% х е D. (3.7)
i=1 а’
В) Законность применения оператора <5 под знаком интеграла в (3.7) следует из следующих соображений. Зафиксируем х £ D. Положим Щ := U(lj(c)). Для любого орта е е Е и для п.в. с £ R‘!
(п-2)Нп-*-Щс))
~ (dist(s, Ы?))"“1