Спектральный анализ разностных операторов

• Автор: Дуплищева, Анастасия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 99 с.

Содержание
Обозначения
Введение

Глава 1. Некоторые сведения из теории операторов

1.1. Линейные замкнутые операторы

1.2. Основные понятия спектральной теории операторов

1.3. Разбиение спектра

Глава 2. Разностные операторы и операторные матрицы второго порядка

2.1. Постановка задачи

2.2. Понятие состояний обратимости операторов

2.3. Эволюционные семейства п свойство экспоненциальной дихотомии
2.4. Спектральный анализ абстрактных операторов, отвечающих
разностным операторам второго порядка
2.5. К вопросу обратимости п фредгольмовостп разностных операторов второго порядка
Глава 3. О дифференциальных операторах и матрицах второго
порядка
3.1. Постановка задачи
3.2. Условие обратимости абстрактных замкнутых линейных опе-
раторов, отвечающих дифференциальным операторам второго порядка

3.3. Условие обратимости дифференциального оператора второго
порядка
Глава 4. О периодических на бесконечности решениях разностных уравнений
4.1. Постановка задачи
4.2. Спектр Берлинга векторов и функций
4.3. Условие периодичности на бесконечности решений разностных уравнений
4.4. Достаточное условие сущесл вованпя ограниченных решений разностных уравнений
Литература
Обозначения
N — множество натуральных чисел;
Z — группа целых чисел;
Z+ = N U {0} — множество неотрицательных целых чисел;
R — поле вещественных чисел;
R+ = [0,оо) — множество неотрицательных вещественных чисел;
С поле комплексных чисел;
Т = {Л € С : |Л| = 1} — единичная окружность (абелева группа комплексных чисел, модуль которых равен единице);
X, X, X — банаховы пространства;
X2 = X х X — декартово произведение комплексных банаховых пространств X с нормой 11(х, тд))| = max{||a:i|], 11Д'з11}, (^ь^) G X2]
EndX — банахова алгебра линейных операторов, действующих в X:
Сь = Q,(R,ЗС) —банахово пространство непрерывных п ограниченных па промежутке R функций со значениями и банаховом пространстве X:
Сь,и = Сь,и(R, X) — банахово пространство равномерно непрерывных и ограниченных функций, определенных на М со значениями в X:
Со = Co(R, X) - замкнутое подпространство функций х € Сь.и со свойством lim ||ж(£)|| =0 (исчезающих па бесконечности);
|i|->oo
Lp = Lp (R, X), p € [1, oo)— банахово пространство суммируемых со
степенью р <Е [1, оо) на промежутке R классов функций со значениями в
банаховом пространстве X и нормой ||ж||р = (J ||x(i)||pcft)1/p;

= L00 (R, X) — банахово пространство существенно ограниченных на промежутке R классов функций со значениями в банаховом пространстве X п нормой ||x|U = wröisup ||x(i)||;

С1 = С1(Ж, X) —банахово пространство I раз непрерывно дифференцируемых функций наМ со значениями в банаховом пространстве X, у которых
Прием, использующий сведение дифференциальных и разностных уравнений высокого порядка к соответствующим дифференциальным и разностным уравнениям первого порядка, широко применяется в теории дифференциальных п разностных уравнений и. более того, излагается в университетских курсах по теории дифференциальных и разностных уравнений.
Уравнения (2.1) и (2.2) запишем в операторном виде:
где разностный оператор V е End F (Z, X) определяется формулой:
В этой формуле Bi, В-2 Е Endlp (Z, X) - операторы умножения в lp (Z, X) на операторные функции В,Во : Z —> EndX соответственрю, т. е.
Bx = f, f Е F = Р(Z,X),
% = 9, 9 Є lp (Z, X x X),
(2.4)
V = S2 + BiS + B-2.
(.Bkx){n) = Bk(n)x(n), n e Z, x є P (Z,X), /с = 1,2.
Оператор В е Е‘^1Р (Z, .X2) в (2.4) имеет вид:
В = S + B
где операторы §, В Е End/P (Ж, X2) определяются равенствами:
п Е Z, х = (агь ®2) Є Р (Z, X2) ~ Р (Z х X) х Р (Z х X).
Таким образом, оператор В определяется в Р х Р матрицей вида: