Предклассические ортогональные многочлены и ортогональные на полуоси по симметричному весу дробно-рациональные функции

• Автор: Хаиров, Рахман Айдабекович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

ГЛАВА I. Предклассические ортогональные многочлены

§ 1. Дифференциально-возвратные уравнения

для ортогональных многочленов

§2. Многочлены, ортогональные на полуоси

по весу х" ^

§3. Многочлены, ортогональные на (—оо,+оо)

( Х2~

по весу ( 1 + — I

§ 4. Максимизация некоторых определителей, встречающихся

в теории планирования эксперимента
Глава И. Многочлены и дробно-рациональные функции,
ортогональные на полуоси по симметричному весу
§1. Симметричная на полуоси весовая функция
§2. Многочлены, ортогональные на полуоси
по симметричному весу
§ 3. Ортогональные на полуоси по симметричному весу
дробно-рациональные функции
§ 4. Ортогональные на полуоси симметричные
дробно-рациональные функции
§ 5. Свойства нулей ортогональных на полуоси симметричных
дробно-рациональных функций
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Ортогональные многочлены применяются в теории интерполирования [9, 22, 26] и квадратурных формул [18, 22], при решении задач математической физики и квантовой механики [28, 31], в теории планирования эксперимента [14, 26], в теории антенн, в проекционных методах решения дифференциальных уравнений и в других вопросах.
Начиная с работы Лежандра (1785 г.) о притяжении сфероидов и форме планет и работы К. Гаусса о механических квадратурах (1813 г.), в которых появились первые ортогональные многочлены (многочлены Лежандра), ортогональным многочленам посвящены сотни работ. Такой огромный интерес к теории ортогональных многочленов объясняется простотой и широкими возможностями их применения как в самой математике, так и в других науках.
Теории ортогональных многочленов посвящены монографии [27, 28], обзорные статьи [8, 29] и отдельные главы монографий [18, 22].
Источниками получения ортогональных многочленов являются решение задач квантовой механики [23, 28], непрерывных и дискретных граничных задач [1], решение экстремальных задач, а также непрерывные дроби [12], аппроксимации Паде [3], теория представлений групп [7].
В первой главе статьи [20] приведены результаты о дифференциальных уравнениях четвертого, шестого и восьмого порядков для ортогональных многочленов, определяемых весовыми функциями, которые содержат функцию д(х). В [13] показано, что многочлены, ортогональные на (0, +оо) по весу Ъ,(х) = хае~х + Ы8(х), удовлетворяют дифференциальному уравнению

N а^‘х)у^ — ху" — (1 + а. — х)у' — пу = 0, п=О

где а ^ О, N 1% 0, а коэффициенты ец,(ж) определяются некоторыми рекуррентными соотношениями.
В зависимости от весовой функции ортогональные многочлены являются решениями дифференциальных уравнений или дифференциальновозвратных уравнений.
В настоящей диссертации введены в рассмотрение весовые функции, ортогональные многочлены, родственные с классическими, и системы ортогональных дробно -рациональных функций.
В первой главе мы вводим в рассмотрение две конечные системы многочленов:
1) {Ьп(х1, а,0)}=й —система многочленов, ортогональных на по-
2) {Hn(x;t,/3)}_0 — система многочленов, ортогональных по всей
этих систем обладают свойствами, аналогичными свойствам классических ортогональных многочленов, а также
lim Ln(x;t,a,t) = Ln(x-,a), lim Hn(x]t,t) = Hn(x),
<—*+oo t—»-|-oo
где Ln[x а) и Hn(x) —соответственно многочлены Чебышева-Лагерра и Чебышева-Эрмита. Поэтому они названы предклассическими ортогональными многочленами.
Для широкого семейства ортогональных многочленов, в том числе и для многочленов Якоби, В. П. Коноплев [15, 16] получил дифференциально -возвратное уравнение. Мы в § 1 показываем, что имеет место дифференциально-возвратное уравнение, решениями которого являются многочлены, рассмотренные В. П. Коноплевым, а также все классические и предклассические многочлены. При этом упрощены условия и доказательство теоремы В. П. Коноплева.
Пусть А(х) — многочлен степени 9 + 1, В(х) — неотрицательный на (а, 6) многочлен степени ^р + 2, a h(x) —неотрицательная на (а, Ь) функция, удовлетворяющие условиям
Многочлены

где Вп(х;а) —многочлен Чебышева-Лагерра;
6) имеет место трехчленное рекуррентное соотношение и формула Кристоффеля-Дарбу.
В заключение отметим, что если в формулах и дифференциальном уравнении, полученных выше, полагать (3 = £ и перейти к пределу при £ —> +оо, то получим соотвествующие формулы и дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева-Лагерра.
3. Многочлены, ортогональные на (—оо, +оо) х2 £

по весу ( 1 +
1) Весовая функция. Функция
/ Х2~
Н{х) = Л(ж;£,/?) = (1+ — ) , < > 0, $ > 0, (1)
имеет степенные моменты
Т ( х2-/5 Г 0,|/ = 2г + 1;
Ь,к = / л" ( И 1 /1х = < (V 1 ц + 1 .
-I *' Г 2 в{~-
где V < 2(3 — 1. Здесь мы воспользовались формулой

В{а,Ъ)= I
(1 + у)а+ь
Следовательно, функция (1) имеет степенные моменты при V = 0,1,..., Лг(/3); N{0) = [2/3 — 1]. Если 2то ^ ЗУ(/3), то существует система многочленов {-7?ге(ж;£;/3)}_0, ортогональных на (—оо,+оо) по весу (1).
2) Дифференциальное уравнение.
Функция (1) удовлетворяет уравнению (2) и условиям (3) из §1, при-

чем А(х) = —2/3-, В(х) = 1 + х € (а, Ь) = (—оо, +оо). Поэтому,