Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в банаховых пространствах

• Автор: Балаганский, Владимир Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 235 с. : ил.

Справочный материал
Глава I. Мощность и структура множества ХТ'М
§ 1.0. Некоторые вспомогательные результаты
§ 1.1. Структура множества ХТ'М в гильбертовом пространстве
§ 1.2. Структура множества М с card ХТ'М < 2К° в пространствах X е (D) П (S')
§ 1.3. Структура множества М с card ХТ'М < card X в пространствах X € (D) П (5) и X 6 (CLUR) Г) (S)
§ 1.4. Структура множества ХТ'М в пространствах X G (2R)
§ 1.5. Открытость метрической проекции
§ 1.6. Об относительных чебышевских центрах
Глава II. Множества с выпуклым дополнением
§ 2.1. Чебышевских каверн в пространствах типа cq нет
§ 2.2. Аналог теоремы о биполяре
§ 2.3. Существование и единственность
§ 2.4. Дифференцирование функции расстояния
§ 2.5. Другие результаты
Глава III. Антипроксиминальные множества в банаховых пространствах
§ 3.1. Некоторые предварительные результаты об антипрокси-минальных множествах в банаховых пространствах
§ 3.2. Выпуклые замкнутые ограниченные антипроксиминальные множества в C{Q)
§ 3.3 . Выпуклые замкнутые ограниченные антипроксиминальные множества в подпространствах С((5)
§ 3.4. Антипроксиминальные множества в Ь(Б, £,р)
§ 3.5 . Пример выпуклого замкнутого ограниченного антипро-ксиминального множества в строго выпуклом пространстве с нормой дифференцируемой по Фреше
Список литературы

1. Справочный материал
В работе приняты следующие обозначения:
N [ 3? ] - множество натуральных [ вещественных ] чисел;
X - вещественное банахово пространство, как правило, бесконечномерное;
ХА = СА, А, А= intA, дА, convA, convA, |А| = card A, dianiA - соответственно, дополнение, замыкание, внутренность, граница, выпуклая оболочка, замкнутая выпуклая оболочка, мощность, диаметр множества А С X]
В (ж, г) = {z £ X : zx < г} - шар в X;
Б(ж, г) — В(ж, г) В (ж, г) - сфера;
В(Х), S(Z) - единичные шар и сфера в Z;
[ж, у] = {(1 — А)ж + Ау : 0 < А < 1} - отрезок;
(х, ?/) = {(1 — А)ж А- А?/ : 0 < А < 1} - интервал; ху = {(1 - А)ж + А у : А > 0} - луч; ху = d(x,y) = ||ж - у||;
ж А = d(x,A) = inf {ж?/ : у 6 А} - расстояние от ж до А С X; р(А, 5) = inf {ж 5 : х € A}; d(A, В) = вир{жБ : х 6 А}, d(x, 0) = р(А, 0) = оо;
с/м : ж I—> г!д,/ (ж) — хМ [метрическая функция множества М С X, функционал наилучшего приближения, функция расстояния] ;
Рм ■ X I—- Рм{х) = {у 6 М : ху = жМ} [метрическая проекция, оператор наилучшего приближения];
Рм '■ х '—* рм(х) — {у Е М : ху < хМ + 6} [5 -проекция].
В этой работе множество, подлежащее изучению, всегда обозначается через М; при этом предполагается, что 0 ф М = М ф X;
Т — Т{Х) - семейство всех таких М;

лемме 1.0.11 <2' П Е(М) П См — 0, но по теореме В Т'м С См-, следовательно, С^,ПТ'м=0. Так как СУ выпукло, то пункт доказан.
б). В силу а) получаем, что изолированная точка должна принадлежать множеству (У, которое выпукло и СУ Г] Т'м — 0, следовательно, С}' одноточечно. В силу б) XТ'М одноточечно.
Следствие 1.1.1. Пусть X £ (Б)Г(Б)Г(В), М 6 ТСС(Х), С} = ХМ ограниченно. Тогда множество (ДЕД линейно связно
Следствие 1.1.2. X £ {ЯУ) П (К) П (Р) П (В), М £ РСС(Х), ф = ХМ ограниченно. Тогда множество (ДРм линейно связно в т -топологии пространства X.
Следствие 1.1.3. Пусть X £ (ЯУ) П (Я) П (Я) П (В), М Е ТссУХ), = ХМ ограниченно. Тогда множество 0САМ линейно связно в ги -топологии пространства X.
Лемма 1.1.2. Пусть X £ (Б) Г) (5), М £ Т(Х) , Аг
сопуМ, А1М = и иа, где IIа непустые, попарно непересекаю-а£Л
щиеся, открытые в ХМ множества. Тогда ХТ'М = и УСа, где ИД непустые, попарно непересекаюгциеся, открытые в ХТ'М множества, РДИД) С иа.
Доказательство. Докажем, что РДАДГД) С АТМ. Действительно, ГУ(х) £ М влечет х £ Т'м, так как X £ (Б), х£ ТУ и М С N.
Множество ИД = (.ХТ'М) П РД({7а) открыто в ХТ'М, так как Ру непрерывна.
Для любого х £ Ру (иао) имеем Р^(х) = Рмиао(х) и х С Т'Миа. Если ХТУу = 0, то по теореме 4.32 [В, стр. 53] множество АТЦ,0 выпукло и £Д0 = 0, следовательно, (ХТ^^ ) П РД(£Д0) ф 0. Пусть ж £ (ХТ'миао) ПРД(£Д0).
Если у € А[(М и иао), то, в силу замкнутости АД {] Ба в N