Разветвлённые накрытия римановых поверхностей и графов

• Автор: Лимонов, Максим Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 74 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Разветвленные накрытия римановых поверхностей

1.2. Разветвлённые накрытия графов

1.3. Графы групп и теория униформизации

Глава 2. Точки Вейерштрасса как точки ветвления голоморфных отображений

2.1. Циклические накрытия и теорема Левптса

2.2. Обобщение теоремы Левитса на случай нерегулярных

накрытий
2.3. Накрытия регулярного типа и точки Вейерштрасса
Глава 3. Группы с разбиениями, действующие на графах
3.1. Дискретная версия теоремы Акколы о группах, допускающих разбиения
3.2. у-пшсрэллгштические графы
Глава 4. Гиперэллиптические графы и поднятие гипер-эллиптичсской инволюции
4.1. Поднятие пшсрэллнптической инволюции на абелевы
накрытия
4.2. Поднятие гиперэллиптической инволюции на нерегулярные накрытия
Заключение

Список литературы
Публикации автора по теме диссертации

Введение
В диссертации исследуются разветвлённые накрытия римановых поверхностей и их дискретные аналоги.
В первой части изучаются точки Вейерштрасса как точки ветвления голоморфных отображений римановых поверхностей. Обобщается на случай нерегулярных накрытий теорема Левитса о связи точек Вейерштрасса и числа неподвижных точек автоморфизма римановой поверхности. На основе этого обобщения даётся новый способ нахождения точек Вейерштрасса на накрытиях регулярного типа.
Другая часть диссертации посвящена актуальной в последнее время дискретизации теории римановых поверхностей. Роль римановых поверхностей играют конечные связные графы, а голоморфные отображения заменяются на гармонические. Оказывается, что категория графов с гармоническими морфизмами между ними отражает многие свойства классической теории римановых поверхностей. В диссертации предлагается новый метод униформизации регулярных и нерегулярных накрытий графов, основанный на теории графов групп Басса - Серра. С помощью этого метода устанавливаются теоремы об обобщённых гиперэллиптических графах и поднятии гиперэллиптиче-ской инволюции на нерегулярные накрытия.

обязательно имеют нуль кратности > 3 в точке Р (допускаются нули и в других точках на X) и могут иметь полюс в Q порядка < 4.
Следующая теорема является важным инструментом для проверки того, что L(D) содержит непостоянные функции.
Теорема (неравенство Римана [29, стр. 72]). Пусть X — риманова поверхность рода g и D £ Div(X). Тогда верно неравенство
1{D) > — cleg D — g + 1.
Принимая во внимание неравенство Римана, определение точки Вейерштрасса на языке дивизоров запишется так.
Определение 11. Точка Р римановой поверхности рода g > 1 является точкой Вейерштрасса, если и только если 1(—дР) > 2.
Следующая теорема обобщает теорему Левитса на случай нерегулярных отображений и является основным результатом настоящего параграфа.
Теорема 7. Пусть X и Y — римановы поверхности, и род X больше 1. Пусть р : X —» Y голоморфное отображение. Предположим, что р имеет более 4 точек полного ветвления. Тогда все они являются точками Вейерштрасса.
Эта теорема является следствием из леммы ниже.
Лемма 2. Пусть X и Y — римановы поверхности, и род X больше
1. Пусть р : X -» Y — голоморфное отображение степени п. Предположим, что р имеет точку полного ветвления Р. Тогда Р будет точкой Вейерштрасса на X, если суммарный порядок ветвления В отображения р удовлетворяет неравенству В > 4п — 2.