Абсолютно представляющие системы подпространств в спектрах локально выпуклых пространств

• Автор: Михайлов, Константин Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 105 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОЕКТИВНЫХ СПЕКТРАХ (ГЛ)-ПРОСТРАНСТВ

1.1. Определение проективного спектра

1.2. Коэффициентное пространство

1.3. Описание сопряженного к коэффициентному

пространству

1.4. Оператор представления и сопряженный к нему

1.5. Критерий для абсолютно представляющих систем

подпространств в терминах разрешимости интерполяционных задач

1.6. Описание сопряженного к пределу проективного спектра
1.7. Необходимое условие для абсолютно представляющих
систем подпространств в пределах (ЛЛ5)-спектров
1.8. Достаточное условие для абсолютно представляющих
систем подпространств в пределах (ЛЕА)-спектров
1.9. Следствия основных результатов для (ЛЛЩ-прострапств
1.10. Следствия основных результатов для приведенных
проективных пределов
1.11. Необходимое условие для абсолютно представляющих
систем подпространств в регулярных индуктивных пределах
1.12. Системы экспонент в пространстве целых
функций [1,+оо)

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
2.1. Пространства ультрадифференцируемых функций
типа Румье
2.2. Пространства ультрадифференцируемых функций,
задаваемые уточненным порядком
2.3. Критерий для абсолютно представляющих систем
экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций
2.4. Вспомогательные результаты
2.5. Построение примера абсолютно представляющей
системы экспонент
ГЛАВА 3. АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ПРОБНЫХ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
3.1. Пространства Х>ц((Т) пробных й-ультрадифференцируемых
функций
3.2. Критерий для абсолютно представляющих систем
подпространств в пространствах Хф((7)
3.3. Построение абсолютно представляющих систем
подпространств в пространствах Г>ц(С7)
3.4. Универсальные абсолютно представляющие системы
подпространств
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
1. В исследованиях А. Ф. Леонтьева, подытоженных им в монографии [23], рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, рядами экспонент. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), которая развивалась, главным образом, в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников.
Определение 1. (см. [11]) Последовательность ненулевых эле-
ментов полного отделимого локально выпуклого пространства А называется АПС в А, если любой элемент х £ А представим в виде суммы
абсолютно сходящегося к х по топологии А.
В цикле работ Ю. Ф. Коробейника [11]-[14], [16] были заложены основы теории АПС в локально выпуклых пространствах и разработай один из основополагающих методов их изучения, базирующийся на привлечении коэффициентных пространств и теории двойственности.
Впоследствии в [15] было введено более общее понятие абсолютно представляющей системы подпространств (АПСП).
Определение 2. Последовательность % = (Нк)=1 нетривиальных векторных подпространств полного отделимого локально выпуклого пространства А называется АПСП в А, если любой элемент х £ А
ряда

Предложение 1.5.3. Пусть Е — улътраборнологическое пространство. Для того чтобы последовательность (Нк)=1 была АПСП в Е, достаточно, а в случае регулярности каждого индуктивного предела Ет и необходимо, чтобы отображение I было изоморфизмом из
Доказательство. Достаточность следует из предложения 1.5.2. Необходимость. Если (7зг/с)=1 — АПСП в пространстве Е, то по предположению 1.5.2 оператор I является изоморфизмом из (Е',а(Е', Е)) в
По условию Е улътраборнологическое пространство, а согласно разде-
ством класса ТЫЕ. Тогда для этих пространств справедлива теорема об открытом отображении (см. [28, приложение 1, теорема 3]). То есть, всякое линейное непрерывное отображение А на Е открыто. Следовательно, Ь : А —ь Е открыто. Так как Е бочечно, то А слабо открыто [32, следствие 8.6.10]. Откуда по предложению 8.6.3 из [32] следует, что 1{Е') слабо замкнуто в А. Теорема доказана.
Следующая теорема представляет собой критерий для АПСП в терминах разрешимости интерполяционных задач и является обобщением теоремы А* из [13]. Предварительно положим
ностей из А, которые дают разложение нуля в Е.
Теорема 1.5.1. Пусть Е улътраборнологическое и као/сдое Ет — регулярный индуктивный предел. Последовательность П = тогда
и только тогда является АПСП в Е, когда выполнены два условия:
(Еа(Е',Е)) па замкнутое подпространство в (А,а(А,А)).
(А, сг(А, А)).
лу 1.2, пространство А (рассмотренное как Рго]° А) является простран-
Другими словами, КІП) — Ь 1(0) — подпространство тех последователь-