Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения

• Автор: Шульман, Виктор Семенович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Вологда
• Количество страниц: 263 с.

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы

1.2 Список опубликованных работ автора по теме диссертации

1.3 Обзор основных результатов диссертации (по главам)

1.4 Обзор литературы по теме диссертации

2 Нетривиальность решеток инвариантных подпространств

2.1 Совместный спектральный радиус и совместная

квазинильпотентность

2.2 Полунспрерывность и субгармоничность совместного

спектрального радиуса

2.3 Вольтерровы алгебры компактно квазииильпотентны

2.4 Существенный спектральный радиус; применения к
операторным полугруппам
2.5 Формула Бергера-Вонга
2.6 Хаусдорфов радиус и инвариантные подпространства
2.7 Обобщенная формула Бергера-Вонга
2.8 Полугруппы операторов основного типа
2.9 Инвариантные подпространства операторных алгебр Ли
2.10 Комментарии и выводы
3 Непрерывность Lat и рефлексивность решеток
3.1 Свойства замкнутости для решеток подпространств
3.2 Иерархия свойств замкнутости
3.3 Тензорные произведения решеток
3.4 Непрерывность отображения Lat
3.5 Достаточные условия непрерывности
3.6 Аппроксимируемость и рефлексивность
3.7 Комментарии и выводы
4 Коммутативные решетки и masa-бимодули
4.1 Рефлексивные бирешетки

4.2 w-топология
4.3 Носители бирешеток и бимодулей
4.4 Теоремы плотности для masa-бимодулей
4.5 Минимаксная форма теоремы о нулях
4.6 Комментарии и выводы
5 Операторный синтез
5.1 Операторный синтез для бирешеток
5.2 Операторный синтез для псевдозамкнутых множеств
5.3 Существование минимальных алгебр
5.4 Приложения к спектральному синтезу в алгебрах
Варопулоса
5.5 Множества Диткина и проблема синтезируемости
объединений
5.6 Комментарии и выводы
6 Индивидуальный синтез и линейные операторные уравнения
6.1 Синтез относительно модулей
6.2 Модули над тензорными алгебрами и линейные операторные уравнения
6.3 Связь с глобальным операторным синтезом
6.4 Аппроксимативные обратные сплетения
6.5 All для операторов умножения
6.6 Следы коммутаторов
6.7 Некоммутативная теорема Фуглида
6.8 Операторные уравнения с нормальными коэффициентами
6.9 Индивидуальный синтез в тензорных алгебрах и его
приложения
6.10 Комментарии и выводы
7 Заключение
Литература

Глава 1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы диссертации. Значение и актуальность исследования строения инвариантных подпространств операторно алгебраических систем обусловлены возможностью их использования для анализа основных свойств (спектральных характеристик, геометрических инвариантов, неприводимых представлений) этих систем. В частности, весьма существенным оказывается возможность использования результатов об инвариантных подпространствах для исследования линейных операторных уравнений и (в свою очередь) их приложений к дифференциальным уравнениям и теории псевдодифференциальным операторов. Большой интерес к этим вопросам вызывается и наличием плодотворных связей между теорией инвариантных подпространств и такими разделами функционального анализа как теория банаховых алгебр, спектральная теория операторов, теория структур, бесконечномерная геометрия, теория меры, теория приближений, гармонический анализ (в частности, спектральный синтез), асимптотика операторных полугрупп, структурная теория бесконечномерных алгебр Ли. Актуальность тематики подтверждается, также, активным участием многих ведущих исследователей в ее развитии. Скажем о некоторых рассматривающихся в работе вопросах более подробно.
1. Триангуляция (то есть, нахождение максимальных цепочек инвариантных подпространств) операторных алгебр, полугрупп и алгебр Ли, и, как ее первый шаг, выработка критериев нетривиальное решеток инвариантных подпространств. Эти вопросы имеют первостепенную важность для классификации представлений соответствующих алгебраических структур, исследования спектральной структуры операторных систем, строения их подсистем, идеалов и факторов.

Для М С А, через ЗС(М) мы обозначим мультипликативную полугруппу, порожденную М, и через ЭИ ДМ) — унитальную мультипликативную полугруппу:
Бвдм) = (1}иза(м).
Следствие 2.1.2. р{М) = пД{А > 0 : ЗС(А_1М) ограничена }.
Доказательство. Мы видели, что ЭС((р(М) + е)~1М) ограничена для любого е > 0. Отсюда следует >. С другой стороны, если ЗС(А-1М) ограничена, то а(М) < А, для некоторого а £ Могт(Л). Следовательно, р(М) < А. □
Обозначим через аЬь(М) замкнутую абсолютно выпуклую оболочку множества всех конечных сумм ]СА,а,- (аг- £ М) с ^ 1-М Д 1Предложение 2.1.3. р{М) — р(аЬэ(М)).
Доказательство. Прямой подсчет. □
Предложение 2.1.4. Если р{М) < 1, то р(М) = р(ЗС(М)).
Доказательство. Для любого е, 0 < е < 1— р(М), можно найти норму а € 1Чогт(Д) такую что а(М) < р(М) + е. Далее,
а(ЗС(М)) = вир{а(Мп) : п = 1, 2,
Так как а(М) < 1, то последовательность а(Мп) убывает и а(БО(М)) — а{М) < р{М) + е, р(ЗС(М)) < р(М) + е, р(ДС(М)) < р(М). Поскольку М с ЗО(М), верно и обратное неравенство р(М) < р(ЗС(М)). □
Определение 2.1.5. Множество М с А называется конечно квазинилъпотеитным, если р(Аг) = 0 для любого конечного
подмножества N с М.
Положим
АЬэ(М) = у* • аЬь(ЗС(М)). г>о
Легко проверить, что АЬь(М) — подалгебра в А.
Предложение 2.1.6. Если р(М) = 0 то АЬь(М) конечно
квазинилъпотентна.
Доказательство. Если N С АЬь(М) — конечное множество, то N с t • &Ъs(SG(M)) при некотором Ь > 0. Следовательно, Ь~1р{И) = <
р(аЬз(ЗС(М))) — р{БО(М)) = р(М) = 0. □