Некоторые свойства отображений с s-усредненной характеристикой

• Автор: Елизарова, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 120 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Предварительные обозначения и терминология

Глава 1 Отображения с »-усредненной характеристикой

1.1 Некоторые необходимые сведения из теории непрерывных отображений

1.2 Определение отображений с х-усредненной характеристикой

1.3 Пример отображения с х усредненной характеристикой

1.4 Связь классов отображений с х-усредненной характеристикой с некоторыми другими классами пространственных отображений

Глава 2 Аналитические свойства отображений с

»■усредненной характеристикой

2.1 Теоремы о дифференцируемости отображений с

х-усреднснной характеристикой. Достаточные условия того, что /6^(2))
2.2 Полунепрерывность снизу отображений с х-усредненной характеристикой
Глава 3 Некоторые геометрические свойства отображений
с »-усредненной характеристикой
3.1 Определение и свойства модуля семейства кривых.
Теорема об оценке
3.2 Поведение отображений с ^-усредненной характеристикой
в окрестности изолированной особой точки
3.2.1 Оценка искажения евклидовых расстояний
3.2.2 Теорема о порядке роста
3.3 Искажение модуля семейства кривых для отображений с ^-усредненной характеристикой. Эквивалентность аналитического и геометрического определений
Заключение
Литература

Введение
В последние десятилетия XX века начала интенсивно развиваться важная часть теории функций многих переменных - теория пространственных квазиконформных отображений и их обобщений. Теория плоских квазиконформных отображений, как обобщение классических конформных отображений, возникла в конце 20-х годов XX века в работах Г. Греча и М.А. Лаврентьева. Ее зарождение было обусловлено как внутренними потребностями комплексного анализа, так и его практическими приложениями. За годы своего существования теория плоских квазиконформных отображений стала хорошо разработанной областью теории функций комплексного переменного и нашла широкое применение для решения классических задач динамики и сплошных сред. Например, задача о волновом движении тяжелой жидкости, задача о струйном обтекании контура и др. Достаточно полное изложение теории таких отображений дано в монографиях [3], [4], [22], [26], [40] [83] и др.
Понятие пространственного гомеоморфного квазиконформного отображения было введено М.А.Лаврентьевым [27] в 1938 г. в поисках подходящего аппарата для построения математических моделей некоторых явлений гидродинамики, в частности пространственного течения сжимаемой среды. Изучение класса пространственных квазиконформных отображений представляет особый интерес, так как он достаточно широк, по сравнению с классом конформных отображений, который, согласно известной теореме Лиувилля (1850 г.), исчерпывается лишь преобразованиями Мебиуса, т.е. суперпозициями конечного числа инверсий относительно сфер или плоскостей, что приводит к невозможности переноса техники получения свойств квазиконформных отображений в К2 на изучение свойств пространственных квазиконформных отображений.
Начало интенсивных исследований в этой области относится к концу 50-х и началу 60-х годов. Одна из причин этого состояла в том, что методы,

Будем говорить, что произвольная последовательность функций (Л)*=1,2,.. класса }Уг,кЛ°) сходится в 1¥'р ,„„(£>) к функции /9еГ'1ос(В), если
для всякого компактного множества А с: В (||Л ~/о||, р л ) ““*■ О ПРИ &->°о. Будем говорить, что произвольная последовательность функций (/А ) класса ^р1ос(В) локально ограничена, или ограничена в ,0С(О) ,если для всякого
компактного множества А с. В последовательность норм к = 1,2,
является ограниченной.
Понятие обобщенной производной и определения классов ]Ур распространяются также и на случай функций с векторными значениями.
Пусть В - произвольное открытое множество в И", /: В —» Ет. Для всякого хеП имеем = и, следовательно,
отображение / определяет т вещественных функций - компонент
вектор-функции /. Будем говорить, что отображение / принадлежит классу Ьр1ос(П) или Ж',0С(П), если каждая из вещественных функций /х,/2,—,/т принадлежит классу ЬрЪс(В), соответственно 1ос(П).
Говорят, что отображение /Х->У есть локальный гомеоморфизм, если для всякой точки .те! можно указать окрестность II аX этой точки такую, что сужение / на II, /,и, есть топологическое отображение и в У.
Назовем гомеоморфизм / области И на область В' отображением класса (V,, (В), если / е}Уг'1ос(В), /"'<,„(£>'), и обладает уУ и ТУ-1 -свойствами.
Назовем локальный гомеоморфизм / :£>—>■ М" отображением класса 1Уп,1оо (в), если для любого х <= В существует II - окрестность точки хеВ такая, что е Жп’ (17).