Неспектральный асимптотический анализ однопараметрических операторных полугрупп

• Автор: Емельянов, Эдуард Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 190 с.

ВВЕДЕНИЕ 4.

Глава 1. ОПЕРАТОРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

1.1. Предварительные сведения об операторных полугруппах, эргодичности в среднем и почти периодичности 16.

1.2. Констриктивные и квази-констриктивные полугруппы 30.

Глава 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА ^-ПРОСТРАНСТВАХ

2.1. Марковские полугруппы на ^-пространствах 55.

2.2. Эргодичность в среднем положительных полугрупп на Ь1-пространствах 65.

2.3. Асимптотическая устойчивость, нижние граничные функции и теорема о разложении 78.

Глава 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА УПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

3.1. Идеально упорядоченные и равномерно порядково-выпуклые банаховы пространства 93.

3.2. Полугруппы с порядково-ограниченными констрикторами 98.

3.3. Асимптотическое доминирование 105.

Глава 4. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА ПРЕДСО-ПРЯЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АЛГЕБР ФОН НЕЙМАНА
4.1. Одно геометрическое свойство предсопряженного пространства алгебры фон Неймана 119.
4.2. Нижние граничные элементы марковских полугрупп на предсопряженном пространстве алгебры фон Неймана 125.
4.3. Констрикторы и асимптотическое доминирование 132.
Глава 5. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА БАНАХОВЫХ РЕШЕТКАХ
5.1. Предварительные сведения 144.
5.2. Асимптотическое доминирование 152.
5.3. Геометрия банаховых решеток и асимптотическое поведение
операторных полугрупп действующих на них 162.
ЛИТЕРАТУРА 177.

Пусть Т — однопараметрическая операторная полугруппа действующая на банаховом пространстве X. Обычно мы предполагаем, что Т либо параметризована неотрицательным вещественным параметром Т = (Д)4еЛ+ и сильно непрерывна, либо, что Т = (ТГ1)пе2+ является полугруппой неотрицательных целых степеней некоторого оператора. Кроме того по умолчанию, будем считать, что рассматриваемые полугруппы состоят из ограниченных линейных операторов. Изучение однопараметрических полугрупп мотивированно главным образом тем, что они возникают при исследовании линейных уравнений в частных производных — так называемые Со-полугруппы, а также при исследовании дискретных процессов описываемых итерациями одного оператора.
Имеется большое количество монографий по операторным полугруппам, например [55], [113], [64], [94], [46], [75], [9], не говоря уже о бесчисленном море журнальных публикаций. В изучении операторных полугрупп важное место занимает асимптотический анализ их поведения. Это связано с тем, что с практической точки зрения часто бывает нужно знать является ли рассматриваемый процесс затухающим, цикличным, или асимптотически периодичным. Классический подход к исследованию данного вопроса основан на изучении спектра инфинитезимального генератора полугруппы. Этот поход дает исчерпывающий ответ в конечномерном случае dim X < оо благодаря теореме Ляпунова.
В бесконечномерном же случае наряду с, как правило нетривиальной, проблемой вычисления спектра генератора полугруппы,

Однако, для неограниченной полугруппы это свойство не выполняется, даже если подпространство Хд замкнуто. Чтобы показать это, возьмем последовательность (ftj)JLi С (D такую, что
00 к
Ш <1, /?1 = 1, Е I П Pj = 00, and П pj
k=i j=1 j=i
(например, можно взять Д := 1 и /37 := при у > 1). Положим
П fc j
Сп:=(Е1П^|2)“
fc=l j=i
для всех п G 1N и 7i := ^ for г > 1. Заметим, что 0 < jj < jj+i < 1 при всех j > 1.
Пусть Я — сепарабельное гильбертово пространство. Определим оператор Т € £{'Н) следующим правилом:
П«о)
_ ( 7t+iet+i,i + /Зге»,2 j
1 ft+iejj+i j >
где {etj}-j=1 — ортонормальный базис Я. Тогда
НТ’Че.-д)!!2 = |АА ■ ■ • Pn+i2 + Ы+1Р2 • • • /?„|2 + • • - |7t+lT<+2 • • • 7i+n|2
n+i п+1 к
> ( П 7/) Е I П
f=i+l к=1 j
п+1 п+1 fc „
> ( П 7г) Е I П Pj
1=2 fc=i j
П+1 *
= Й+1Е I П AI2
fc=l J=1 n+l fc „
= (Е I П Pj У -> °°
fc=l j=l