Сходимость мер и преобразование радона в бесконечномерных пространствах

• Автор: Лукинцова, Мария Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 51 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Равномерно распределенные последовательности
1. Определение и вспомогательные данные
2. Пространства со свойством равномерного распределения
Глава 2. Преобразование Радона в бесконечномерных
пространствах
1. Определение преобразования Радона
2. Свойства преобразования Радона
3. Преобразование Радона в случае гауссовских мер
Литература
Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Одним из важнейших направлений современной теории меры является изучение различных классов преобразований мер и различных видов сходимости мер. Это направление восходит к работам классиков: И. Радона [38], А.Н. Колмогорова [29], Дж. фон Неймана [35], П. Леви [30], H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова [21], А.Д. Александрова [1], Л.В. Канторовича [6,7], В.А. Рохлина [11], Ю.В. Прохорова [10], A.B. Скорохода [12]. Оно тесно связано постановками задач и приложениями с целом рядов других областей математики, таких как теория вероятностей и случайных процессов, теория динамических систем, математическая физика. При этом несомненно центральным для этих областей видом сходимости мер следует признать слабую сходимость. Такая сходимость, возникшая в теории вероятностей как сходимость по распределению, стала объектом систематического исследования в 40-х годах XX века благодаря идеям А.Д. Александрова, Л.В. Канторовича и А.Н. Колмогорова, а после знаменитой работы Ю.В. Прохорова стало возможным говорить о новом направлении на стыке теории меры и теории вероятностей.
Одновременное параллельное развитие теории топологических пространств естественным образом привело к синтезу направлений: возникла теория слабой сходимости мер на топологических пространствах, плодотворно развивающаяся уже более полувека. К этой тематике относится первая глава настоящей диссертации, посвященная исследованию
4 ВВЕДЕНИЕ
вполне регулярных топологических пространств, в которых все вероятностные меры Радона обладают равномерно распределенными последовательностями, т.е. последовательностями точек, средние арифметические значения в которых для каждой ограниченной непрерывной функции сходятся к интегралу от этой функции по данной мере. Отметим, что для простых пространств построение таких последовательностей не представляет труда, но даже для простейших пространств и мер нередко бывает весьма нетривиальна задача выяснения того, что заданная последовательность является равномерно распределенной. Скажем, в случае отрезка с классической мерой Лебега с этим вопросом связан ряд трудных теоретико-числовых проблем. Основные результаты диссертации по этой теме состоят в установлении ряда свойств пространств со свойством равномерного распределения.
Построение равномерно распределенных последовательностей можно рассматривать как одно из средств восстановления вероятностных мер (или интегралов по ним) по определенным данным. Поэтому эта задача оказывается близкой задаче восстановления меры по каким-либо ее преобразованиям. Известнейшее из таких преобразований — преобразование Фурье, которое для мер на бесконечномерных пространствах было введено А.Н. Колмогоровым [29]. Родственным является обсуждаемое в главе 2 преобразование Радона, которое за последние полвека стало весьма популярным из-за применений в томографии, появившихся отнюдь не сразу. Выросшая вокруг преобразования Радона обширная область анализа на стыке с дифференциальной геометрией, уравнениями с частными производными уже включает задачи интегральной геометрии на сложных многообразиях, но лишь сравнительно недавно стали рассматриваться преобразования Радона мер на бесконечномерных пространствах. Этому направлению посвящена вторая глава диссертации.
Цель работы. Исследовать вполне регулярные топологические пространства, в которых каждая вероятностная радоновская мера обладает
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА

компактен в X, причем Н(7) изоморфно X* посредством отображения К1: г) / г)(х)хч((1х), г) Е X*.
Этот векторный интеграл можно задать в смысле Бохнера, но для введения упомянутого изоморфизма достаточно интерпретировать его в слабом смысле как равенство
Если /г € Н{7) и /1 = К7т], где г/ е X*, то полагают /г = г/. Например, если X = К00 и 7 — счетное произведение стандартных гауссовских мер, то X* можно отождествить с пространством конечных последовательностей, тогда X* естественно отождествляется с I2, что дает также равенство
Аналогом X* для общей меры д можно считать замыкание X* в пространстве -б°(д) измеримых функций со сходимостью по мере. Тогда при желании можно распространить преобразование Радона и на элементы I 6 X* так как условные меры существуют и на множествах 1~х(£), однако мы не будем здесь это делать, хотя для полного отождествления нашей конструкции с определениями из [16,34] в гауссовском случае без этого не обойтись. Укажем лишь, что в гауссовском случае наличие описанного выше изоморфизма между X* и //(7) позволяет задать преобразование Радона (3/(-Р) ограниченной борелсвской функции / на множестве аффинных гиперплоскостей в Н(7) вида Р = Ро + Ф где Ро -замкнутая гиперплоскость в Н(7) и /1 € Д(т)- Для этого записываем Р в виде Р = e± + te, где е 6 Д(7), |е|я = 1, берем условные меры 7г на множествах и интегрируем / по условной мере 71. Непосредственно
проверяется, что это и дает описанное в [16,34] преобразование.
Отметим, что использование условных мер в данной конструкции совершенно естественно. Условные меры на бесконечномерных пространствах играют важную при рассмотрении различных преобразований мер. Например, они используются при изучении нелинейных образов мер (см.
Я(7) = I