Функциональная пропедевтика и трактовка понятия функции в восьмилетней школе

• Автор: Гуськов, Виктор Аркадьевич
• Шифр специальности: 13.00.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 154 c. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ В МАТЕМАТИКЕ И В МОЛЕ.

1. Историческое развитие и современная научная трактовка

понятия функции

2. Понятие функции в школьном курсе математики

3. Определение функции на основе общего понятия переменной

Глава 2. ПОДГОТОВКА УЧАЩИХСЯ К ВВЕДЕНИЮ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ.

1. Функциональная пропедевтика в школьном курсе математики .

2. Вычислительные упражнения с графическим контролем как основа для построения системы функциональной пропедевтики

в 45 классах

Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПРОПЕДЕВТИКИ В 45 КЛАССАХ НА ОСНОВЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УПРАЖНЕНИЙ С ГРАЧЕСКИМ КОНТРОЛЕН. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ В 6 КЛАССЕ.
1. Функциональная пропедевтика в 4 классе .
2. Функциональная пропедевтика в 5 классе
3. Введение понятия функции в 6 классе .
Глава 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ ДИССЕРТАЦИИ.
1. Первый этап эксперимента .
2. Второй этап эксперимента 5 классы .
3. Второй этап эксперимента 6 классы .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Две последних трактовки понятия функции в некоторых случаях противоречили друг другу. Так, непрерывность линии по Эйлеру заключалась в возможности ее задания определенным аналитическим выражением. Если же различные части линии задавались посредством различных аналитических выражений, то такая линия считалась прерывной. Таким образом, согласно аналитическому определению, прерывная в смысле Эйлера линия функцию не задает. В то же время, если трактовать функцию как произвольную кривую, прерывная линия задает одну вполне определенную функцию. Чтобы избавиться от этого противоречия, Л. Эйлер формулирует в году еще одно определение функции: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых" /7, с. Он отмечал, что эта трактовка имеет чрезвычайно общий характер, так как охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других. Некоторые исследователи склонны видеть в этом определении зародыш понятия о поэлементном соответствии между двумя числовыми множествами /7, с. Однако существует и другая точка зрения. Например, Г. Е.Шилов считает это определение только по видимости более широким, чем представление о функции как о произвольной кривой. В году Ж. Б.Фурье доказал, что многие функции, представленные на отдельных участках отрезка различными аналитическими выражениями, можно представить также на этом отрезке одним и тем же тригонометрическим рядом. Открытие Ж. Б.Фурье способствовало окончательному разделению понятий функции и ее аналитического выражения. Стало ясно, что для задания функции необходимо только иметь возможность для каждого значения независимой переменной указать соответствующее ему значение функции. Таким образом было положено начало следующему этапу развития понятия функции, который оказался наиболее тесно связан с именами выдающихся математиков XIX столетия Н. И.Лобачевского и П. Лежен-Дирихле. Н.И. Лобачевский дает следующее определение функции: "Общее понятие функции требует, чтобы функцией от «г называть число, которое дается для каждого & и вместе с постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной . Здесь же Н. И.Лобачевский отмечает, что "обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе" /7, с. П.Лежен-Дирихле в статье "0 представлении совершенно произвольных функций рядами по синусам и косинусам", опубликованной в году, пишет: "Будем понимать под ^ и & два фиксированных значения, а под «г - переменную величину, принимающую все значения, расположенные между ^ и €. При этом совсем не обязательно, чтобы ^ на всем этом интервале зависела от *? Представленная геометрически /т. Это определение не приписывает какого-либо закона отдельным частям кривой; она может быть составлена из различного рода частей или же может быть мыслима совсем лишенной какого-либо закона . В году Г. Ганкель приводит формулировку этого определения без ограничения непрерывными функциями: у называется функцией ^, если каждому значению переменной величины сс внутри некоторого данного интервала соответствует определенное значение ^ ; при этом безразлично, зависит ли ^ от ^ во всем интервале по одному и тому же закону или нет, или же может или не может быть эта зависимость выражена с помощью математических действий". Сам автор считал это определение не соответствующим потребностям анализа, так как функции такого рода не обладают какими-либо общими свойствами и поэтому отсутствует связь между значениями функции при различных значениях аргумента /7, с. Следует отметить, что именно благодаря Г. Ган-келю, приведенное выше определение функции получило имя Дирихле. В определениях Лобачевского и Дирихле уже достаточно четко выражена идея соответствия между значениями независимой переменной и функции.