Формирование обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 классов

• Автор: Арюткина, Светлана Владимировна
• Шифр специальности: 13.00.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Арзамас
• Количество страниц: 155 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПРИЕМОВ

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ

1. Задачи с параметрами и их роль в математическом образовании

школьников.

2. Предпосылки и этапы формирования обобщенных приемов решения

уравнений и неравенств с параметрами.

3. Составы обобщенных приемов решения основных видов уравнений

и неравенств с параметрами.

Выводы по главе 1

Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ У УЧАЩИХСЯ 8У
КЛАССОВ
д 1. Циклы задач как средство формирования обобщенных приемов
решения уравнений и неравенств с
параметрами
1.1. Общие основы построения циклов
задач.
1.2. Характеристика циклов уравнений и неравенств с параметрами
основных видов.
2. Методические особенности работы с циклами задач при различных
формах усиленной математической подготовки школьников
3. Постановка педагогического эксперимента и его результаты
Выводы по главе 2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Миндюк в учебное пособие "Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса" отдельного параграфа, в котором понятие уравнения с параметром вводится на примерах, описательно и с формальных позиций. Разработка методов решения уравнений (неравенств) с параметрами на базе их интуитивного описания имеет ряд недостатков, не позволяющих в должной мерс раскрыть развивающий потенциал таких задач. Во-вторых, в виду неразработанности понятийной базы поиск общих методов исследования принципиально невозможен. Об этом свидетельствует практика конкурсных испытаний, для которых задания составляются с учетом лишь частных закономерностей, характерных для конкретного методического приема. Принципиально иной взгляд на понятия уравнений и неравенств с параметрами предложен А. Г. Мордковичем [1, 2]. Согласно ему уравнение F(a, х)=0 с двумя переменными а их называется уравнением с параметром а и переменной д если ставится задача для каждого значения а из некоторого множества решить уравнение относительно х. В соответствии с постановкой задачи в качестве параметра может выступать любая из переменных, независимо от их обозначения. Наиболее полно понятийный аппарат решения уравнений и неравенств с параметрами представлен в работе В. И. Горбачева []. Так, уравнение F(а, х)=() с двумя переменными а их называет уравнением с параметром а и переменной л*, если для каждого значения а=а, необходимо решить соответствующее частное уравнение F(dj, х)=0 с переменной х [с. По аналогии с уравнениями неравенство F(a, х)<0 с параметром а и переменной х определяется как неравенство с двумя переменными, для которого поставлена задача поиска решения частных неравенств F(a, у х)<0 для всех значений параметра а-а, [с. При решении уравнений (неравенств) с параметром следует учитывать, что не для всех значений параметра они имеют смысл. Таким образом, приходим к понятию области допустимых значений параметра (ОДЗП). Чаще всего ее определяют как множество всех значений параметра, для которых соответствующие частные уравнения (неравенства) определены. Однако, в уравнениях (неравенствах) F(a, х)=0 (F(a, х)<0) с параметром а п переменной . V для допустимых значений параметра а=а{ частное уравнение (неравенство) F(alf х)=0 (F(a,, х)<0) может быть определено не для всех значений переменной . F(a, х)=0 (F(a, х)<0) с параметром а и переменной х возможны ограничения как на множество значений параметра, так и на множество значении переменной. В.И. Горбачев областью определения уравнения (неравенства)/7^, х)~0 (F(a, х)<0) с параметром а и переменной х называет множество всех упорядоченных пар (а, у х), где а=а, принадлежит ОДЗП, а л: принадлежит области определения соответствующего частного уравнения (неравенства) F(a, х)-() (F(a, х)<0) [с. В справочных пособиях по математике, ориентированных на анализ конкурсных заданий вузов, исследование основных понятий, связанных с решением уравнений и неравенств с параметрами, не предусматривается, предполагается их интуитивная ясность. В учебно-методической литературе для учителей, студентов, учащихся понятия изучаются либо на примерах, либо определяется лишь часть из них. Так, Г. А. Ястребинецкий [с. Ь, с,. В пособии фактически дается понятие области определения уравнения без введения понятия ОДЗП. В учебном пособии Е. Е. Вересовой, Н. С. Денисовой, Т. Н. Поляковой [с. ОДЗП, область определения используется лишь неявно, в процессе решения конкретных уравнений. Однако наиболее глубоким и значимым является понятие общего решения уравнения (неравенства) с параметром. Так, для уравнения F(a, х)=() с параметром а и переменной х функцию x=f(a) называют общим решением на множестве Д/значений параметра, если для каждого a, EAf значениеx=f(a,) является решением уравнения F(a,, х)=0 [с. С понятием общего решения тесно связано понятие "решить уравнение с параметром". В учебных пособиях чаше других встречается следующее описание [2, 4]: "решить уравнение с параметром -значит, для любого допустимого значения параметра найти множество корней заданного уравнения". Аналогичной позиции придерживаются Е. Е. Вересова. Н.С. Денисова, Т.