Суперэлементный подход для расчета складчатых цилиндрических систем с использованием дискретно-континуальной модели В.З. Власова

• Автор: Майданов, Антон Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.23.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 191 с. : ил. + Прил. (226 с.: ил.)

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие

Исторический обзор по расчету тонкостенных стержней и складчатых

систем.

Глава I. Метод прямых жесткостей.

Введение.

1.1 Понятие матрицы реакций

1.2 Построение матрицы реакций для стержневой модели плоской задачи теории упругости
1.3 Континуальная модель получения матрицы реакций с использованием формул сопротивления материалов

1.4 Постановка задачи

1.5 Операторы языка Мар1е, используемые в диссертационной работе.

1.6 Основные результаты и выводы по главе
Глава II. Основы метода конечных элементов. Построение матриц
реакций для плоской задачи и задачи изгиба.
Введение.
2.1 Метод конечных элементов как метод Ритца.
2.2 Построение матрицы реакций для прямоугольного элемента с заданным полем перемещений плоская задача.
2.3 Построение матрицы реакций для прямоугольного элемента с заданным полем напряжений плоская
задача.
2.4 Построение матрицы реакций для прямоугольного элемента по заданному полю перемещений задача
изгиба.
2.5 Основные результаты и выводы по главе
Глава III. Послойное формирование матриц реакций для
прямоугольных пластинок.
Введение
3.1 Послойное формирование матрицы реакций для прямоугольной пластинки на примере плоской задачи
3.2 Тестовые примеры
3.3 Автоматизация процесса послойного формирования матрицы реакций для пластинки. Автоматизация учета кинематических и статических граничных условий
ЗИ 3.4 Основные результаты и выводы по главе.
Глава IV. Обобщенный стержень.
Введение
4.1 Дискретноконтинуальная модель В.З.Власова
4.2 Понятие обобщенного стержня.
4.3 Построение матрицы реакций для элемента модели В.З. Власова
4.4 Построение матрицы реакций для слоя, выделенного из складчатой оболочки
4.5 Тестовые примеры
4.6 Основные результаты и выводы по главе
Основные результаты и выводы
Литература


Для того чтобы построить матрицу реакций необходимо задать вектор степеней свободы, координатами которого являются параметры, определяющие положение всех точек элемента. Рассмотрим прямоугольный элемент и зададимся для него вектором перемещений угловых точек 1 (рис. Построим для вектора г двойственный вектор г (рис. Рис. П = -гГ-г. Ньютона. Для того чтобы построить матрицу реакций необходимо либо найти, либо задать поле перемещений, которое целиком определяется вектором степеней свободы. Для стержневых (одномерных) элементов использовалось поле перемещений найденное из обыкновенного дифференциального уравнения. В случае двумерного элемента получается дифференциальное уравнение в частных производных. Для прямоугольной области нет простого аналитического решения, поэтому полем перемещений будем задаваться. В соответствии с принципом Лагранжа, уравнения равновесия выполняются в интегральном смысле, при этом не требуется того, чтобы поле перемещений удовлетворяло дифференциальному уравнению равновесия, а требуется, чтобы это поле удовлетворяло кинематическим граничным условиям на контуре, и было бы непрерывным между элементами (в соответствии с понятием возможных перемещений). Полученная матрица реакций должна удовлетворять жесткому смещению и давать точное решение в случае однородно-напряженного состояния. Решение плоской задачи теории упругости можно свести к расчету плоской идеальной фермы с крестовой решеткой (рис. Таким образом, задача теории упругости может быть сведена к задаче строительной механики стержневых систем. Конечным элементом в этом случае является прямоугольный стержневой элемент с четырьмя узлами. На рис. Требуется построить для этого элемента матрицу реакций. Для построения матрицы реакции необходимо задать степени свободы (параметры, определяющие положение всех точек элемента). В качестве степеней свободы элемента примем перемещения его угловых точек. Для того чтобы отличить номера узлов от номеров стержней, последние на рис. Перемещения узлов характеризуется вектором. V, Ы2 Vг и} У3 Ы4 У4]Г. Напомним, что двойственными векторами называются векторы, скалярное произведение (произведение одноименных координат) которых дает выражение для работы, которая равна потенциальной энергии, накапливаемой в элементе. П = —гт1. Атг = ? Первое уравнение системы (1. Гука в прямой форме (см. Приложение 1)). В соответствии с процедурой метода перемещений подставим третье уравнение системы (1. BN = ATz. N = B~'ATz (1. Подставляя выражение (1. AB~tArz = r (1. Сравнивая выражения (1. АВ~1АТ (1. Вырезая узлы и составляя уравнения = 2. В соответствии с рис. В соответствии со вторым уравнением выражения (1. А = Атг (1. Смысл уравнения (1. А полностью определяются перемещениями узлов т, (А — некоторая матрица с размерами 6x8). Запишем физическое уравнение. Будем предполагать, что элемент является двояко симметричным, при этом площади горизонтальных стержней одинаковы и равны ЕР, площади вертикальных и наклонных стержней также одинаковы и соответственно равны ЕР2, ЕРз. А*. С щ. Матрица реакций для элемента, изображенного на рис. Г ГА2 ГАЗ ? Используя матрицу реакций можно решить плоскую задачу теории упругости. Для этого необходимо выразить площади Ри Р2, Рз через физические параметры Е и //. При жестких смещениях (рис. Однородные напряженные состояния (рис. Умножая матрицу г на матрицу (1. Состояние 1 (рис. Состояние 2 (рис. Состояние 3 (рис. ЕР. У — —у ~ у —? Получим те же реакции, используя формулы теории упругости, запишем закон Гука в обратной форме для плоско-напряженного состояния (см. Приложение 1). G/, где G Состояние 1 (рис. Подставим (1. В соответствие с рис. Состояние 2 (рис. Подставим (1. В соответствии с рис. Состояние 3 (рис. Ъ ЕЗ к. Приравняем выражение (1. Приравняем выражение (1. Приравняем выражение (1. Приравняем выражение (1. Приравняем выражение (1. Приравняем выражение (1. Найдем из выражения (1. Найдем Fз из выражения (1. Приравнивания (1. Подставляя (1. Таким образом, стержневой элемент может моделировать среду теории упругости (плоская задача) при ц = —.